厦门双十中学2007届高三数学（理）高考热身卷试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，阴影部分所表示的集合是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．设复数
为纯虚数，则x= （ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3. 已知x，y满足约束条件
，则目标函数
的最大值为 （ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
4.已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：
①
∥n ②
∥
③
④
其中正确命题的序号是 （ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．②③
5．已知{an}是正项的等差数列，如果满足
则数列{an}的前11项的和为（ ）
A．8 B．44 C．56 D．64
6．设a，b∈R，则“a+b=1”是“4ab≤1”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
7. 如右图是函数
的大致图象，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
8．函数
平移后，得到函数y=g(x)，
若y=g(x)是奇函数，则θ可以是（ ）
A.
B. 
C.
D.
9．若A，B，C，D，E，F六个元素排成一行，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有 （ ）
A．72种 B．96种 C．120种 D．144种
10椭圆
与直线
交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
满足对任意
成立，则a的取值范围是 （ ）
A．
B．（0，1） C．
D．（0，3）
12.定义
，则方程
=0有唯一解时，实数k的取值范围是（ ）
A.
B.
C. 
D. 
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上）
13.不等式
的解集是
14．在代数式
的展开式中，常数项是
.
15. 在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列
，已知
，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为 ；频率是
16．已知O是△ABC内一点，
，则△AOB与△AOC的面积的比值为
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本题满分12分）
在△ABC中，
的对边分别为
且
成等差数列.
（Ⅰ）求B的值； （Ⅱ）求
的范围。
18. （本题满分12分）
某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。
（Ⅰ）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。
19. （本题满分12分）
如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，顶点D1在底面ABCD上的射影O是CD的中点，侧棱与底面所成的角为60°。
|
；
（Ⅱ）求点O到平面AA1D1D的距离；
（Ⅲ）求二面角C—AD1—O的大小。
20. （本题满分12分）
如图，A村在B地正北
km处，C村在B地正东4km处，已知弧形公路PQ上任一点到B、C距离之和为8km，
（I）建立适当的坐标系，求出公路PQ所在的曲线方程；
（II）现要在公路旁（近似地认为在公路上）建造一个交电房M分别向A村、C村送电，但C村有一村办工厂用电需用专用线路，不得与民用混线用电，因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电，要使得所用电线长最短，变电房M应建在A村的什么方位，并求出M到A村的距离．
 |
21.（本题满分12分）
已知函数
是自然对数的底数）.
（I）求函数
的极值；
（II）当x>0时，设的反函数为
若
与
的大小.
22.（本题满分14分）
已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈N*），若数列
是等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当k为奇数时，
；
（Ⅲ）求证：
厦门双十中学2007届高三数学（理）高考热身卷参考答案
1．B.
2．D.解：
，依题意得：x=2
3. C解：如图，过(2,2)点时，Z取最大值=2+2=4
4.C
5．B.解：
6．A解：（条件最值）设u=4ab=4a(1-a)=4
，当且仅当a=
时等号成立
7. A.解：由三根式：
，依题意，
是
的两个根，
8．C解： y=g(x)= 
g(x)
，因y=g(x)是奇函数，所以
.
9.D解：先将AB捆绑当成一个元素，则N=
10.A解：
所以
，所以
11．A.解：因，所以f(x)在R上单调递减函数，得0<a<1且a-3<0且
，所以解得：
12.A.解：=0
,
设
方程解的问题转化为两个函数图象的交点
由图可以观察出，
13.解：
---------不用集合表示不得分
14．解：常数项=
15.解：
，所以这4个正方形的面积为
，
所以
，所以面积最的是160. 频率是0.4
16．解1：
，D为
AC中点所以设，
，所以
解2：图形特殊化，构造如图所示的等腰直角三角形
则设B（0，0），A（1，0），C（0，1）
所以△AOB面积=
，△BOC的面积=，△ABC的面积=，△AOC的面积=
，所以答案为
17．（Ⅰ）解法一：
成等差数列，
∴ 
…………………………………………2分
由正弦定理得，
代入得，
即：sin(A+C)=2sinBcosB
∵A+B+C=π∴sin(A+C)=sinB∴
…………………………4分
又在
中，
，
又
， ∴
.……………………6分
解法二：∵成等差数列，
∴…………………………………………2分
由余弦定理，
化简得， 
……………………4分
∴
∵ 
………………………6分
（Ⅱ）解：，
∴
…………………8分
……………………………………………………10分
，
的范围是
……………………12分
18.解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有
种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有
种，
所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 
……（4分）
（注：没有描述好P的意义扣1分）
（2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，-----------------------------------------5分
其所有可能的取值为0，100，200，300。（元）
所以
，
-----------每个1分---------9分
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
…………11分
故促销方案对商场有利。…………12分
19．（Ⅰ）证明：
在平面
上的射影为O，
， 
点
为
的中点，
，OC=1又
，
，∠BOC=45°
同理∠AOD=45°， ∴∠AOB=90°。 ∴
，
…………………………4分（没有指出两线相交扣1分）
（Ⅱ）解法一：
，
又
，AD
平面
在平面
内，作
，垂足为
，
则
。
∴线段
的长为点到平面
的距离
在平面上的射影为
。
为侧棱
与平面所成的角.
在
中，
=
。即点到平面的距离为 ……8分
解法二：∵D1O⊥平面ABCD，∴DD1在平面ABCD上的射影为DO
∴∠D1DO为棱DD1与平面ABCD所成的角， ∴∠D1DO=60°∵OD=1， ∴
∴
∵AD⊥DO，AD⊥D1O， ∴AD⊥平面D1DO ∴AD⊥DD1，设点O到平面ADD1A1的距离为h，
则
∵
即点O到平面ADD1A1的距离为 
………10分
解法三：由（Ⅰ）可得，OA，OB，OD1的两两垂直以点O为坐标原点，分
别以射线OA，OB，OD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。
∵D1O⊥平面ABCD，∴DD1在平面ABCD上的射影为DO
∴∠D1DO为棱DD1与平面ABCD所成的角。∴∠D1DO=60°
∵OD=1， ∴
∴
∴
设平面ADD1的一个法向量为n=（a，b，c），则
不妨令 
∴点O到平面ADD1的距离
………………8分
（Ⅲ）解：如图，作
于
，作
于
，连结
，
又
，
又
，
为二面角
的平面角，
在
中，
，
，
.
在
中，
，
，
取
的中点
，连结
，则
，
，
在
中，
.
二面角的大小为
.………………………………12分
20. 解：（1）如图，以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，----------1分
则B（－2，0），C（2，0），A（-2，），---------------2分
∵MB+MC=8（8>BC=4），
∴M在以B、C为焦点，长轴长为8的椭圆上．-----------4分
得椭圆方程为
．-----------6分
（2）其离心率为
，右准线为l：x=8．
作MN⊥l，垂足为N，则AM+2MC=AM+MN，-----------8分
可见，当M在AN上时，AM+2MC最小，此时M的纵坐标为
，-----------10分
∴M的纵坐标为
，故得M在A正东且距A为（2+2）km处．-----12分
点评：2004年广东高考数学试题中，就有一道解析几何应用性的问题，它实质是来源于课本，你知道吗？
21.解：（I）∵当x>0时，
上单调递增，且
；
当x≤0时，
，此时
…………2分
①若m=0时，
上单调递增，且
.
又
，可知函数在R上单调递增，无极值.…………………………3分
②当m<0，令
（舍去）
函数
上单调递增，
同理，函数在R上单调递减，无极值， ………………4分
③若
函数
上单调递增，在（－2m，0
上单调递减.
此时函数在x=－2 m处取得极大值：
；
又在（0，+∞）上单调递增，故在x=0处取得极小值：f(0)=0.
综上可知，当m>0时，的极大值为
，极小值为0；当m≤0时，无极值. …6分
（II）当x>0时，设y=f（x）=ex－1
7分
解1：比较
的大小.
记
……………………………………………8分
上是单调递增函数，（
）……9分
恒成立. ∴函数
上单调递增. ……………10分
当0<p<q时，有q－p>0，
……………12分
解2：,设函数
(x>p)
则
在
上是单调递增，（
>0）
恒成立 ∴函数
上单调递增，又在x=p处连续
所以当q>p时，g(q)>g(p),即
所以
22.解（Ⅰ）∵为等比数列，
∴
应为常数，
∴
得
=2或=－3 ……………………2分
当=2时，可得
为首项是 
，公比为3的等比数列，
则
①………………4分
当=－3时，
为首项是
，公比为－2的等比数列，
∴
②
①－②得， 
……………6分（注：也可由①利用待定系数或同除2n+1得通项公式）
（Ⅱ）当k为奇数时，
∴ 
…10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知k为奇数时， 
…………12分
①当n为偶数时， 
②当n为奇数时，
=
………………14分