第一讲 集合与函数
l 高考风向标
本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算，含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法，逻辑关联词，四种命题，充要条件．映射的概念，函数的概念，函数的单调性，反函数的概念，分数指数幂的概念和性质，指数函数的图象和性质，对数的定义和运算性质，对数函数的图象与性质，函数的一些应用．
l 典型题选讲
例１ 在
中，“
”是“
”的什么条件？
讲解 在中，角A、B的对边分别是
是的外接圆的半径．
一方面，因为 A<B，所以a<b ,
即
，亦即 ，从而中
A<B
。
另一方面，因为，
所以 ，即 
，得A<B，
从而中，A<B。
故中，“”是“” 的充要条件．
点评 试问：在中，“”是“
”的什么条件？
例２ 试构造一个函数
，使得对一切
有
恒成立，但是
既不是奇函数又不是偶函数，则可以是
.
讲解 的图像部分关于原点对称，部分关于
轴对称，如
．
点评 本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试．
例３ 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．
（１） 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；
（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n(nÎN＋)与得到的细胞个数y之间的关系；
（３）写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．
讲解 （１） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下
| 分裂次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 细胞个数 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
（２）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是
y＝2n，nÎN＋．
利用计算器可以算得
215＝32768，220＝．
故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和个．
点评 细胞分裂是一种很有趣的数学问题，我们也可以思考下面的类似的问题：
一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存
KB，然后每
分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 ______ 分钟，该病毒占据
MB内存（
MB=
KB）.
例４ 已知函数
的反函数
，
（１）若
，求
的取值范围
；
（２）设函数
，当
时，求
的值域．
讲解 ∵ ，
∴ 
．
（１）∵ 即
．
∴
，
∴
解之得 
，
∴
．
（２） ∵ 
． 
令
，显然在[0，1]递增，
则有 
．
∴
，即的值域为
．
例５ 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率
与日产量
（件）之间大体满足关系：
（其中c为小于96的正常数）
注：次品率
，如
表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损
元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额
（元）表示为日产量（件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
讲解 （1）当
时，
，所以，每天的盈利额
;
当
时，
，所以，每日生产的合格仪器约有
件，次品约有
件．故，每天的盈利额
.
综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0．
当时，
．
令
，则
．故
．当且仅当
，即
时，等号成立．
所以（i）当
时，
（等号当且仅当
时成立）．
（ii）
当
时，由得
，
易证函数
在
上单调递增（证明过程略）．
所以，
．所以，
，
即
．（等号当且仅当
时取得）
综上，若
，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为
时，可获得最大利润．
点评 分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．
例６ 设二次函数
，已知不论α，β为何实数，恒有
（1）求证：
（2）求证：
（3）若函数
的最大值为8，求b，c的值．
讲解 （1）由产生b+c，只要消除差异，这可令
从而知 
（2）由
又因为
（3）
当
由
解得 
点评 注意：
且
, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视.
例７ 设f(x)=lg
,a
R, nN且n
2.若f(x)当x(-
,1)有意义，求a的取值范围．
讲解 f(x)当x(-,1)有意义，当且仅当1＋2
＋…＋(n-1)＋an>0 对x(-,1)恒成立．即函数
g(x)=
＋
＋…＋
＋a>0
对于任意的x(-,1)恒成立．
因为g(x)在(-,1)上是减函数，其最小值为g(1)=
＋
＋…＋
＋a=
(n－1)＋a，
所以g(x)
>0对x(-,1)恒成立的充要条件是
＋a>0，即a>
．
故所求实数a的范围为（，+）．
点评 构造函数是应用函数思想解题的基础，怎么构造，构造怎样的函数完全因题而定．请读者注意，恒成立问题在高考中多次出现，其解题方法，很值得探究．
例８ 函数
是定义在［0，1］上的增函数，满足
且
，在每个区间
（
1，2……）上，
的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．
（１）
及
，
的值，并归纳出
的表达式;
（２）直线
，
，x轴及的图象围成的矩形的面积为
（1，2……），记
，求
的表达式，并写出其定义域和最小值．
讲解 （１）为了求，只需在条件中，令
，即有
，得
．
由
及，得
．
同理，
．
归纳得
．
（２）
时,
.
故 
是首项为
，公比为
的等比数列,
所以 
.
的定义域为
1，当
时取得最小值
.
点评 本题是２００４年北京高考数学第１８题，将函数与数列综合在一起，体现了数学知识交汇性，是一道既知识、又考能力的活题．
l 针对性演练
１．合
，若
，
，则
，则运算
可能是 （ ）
(A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法
２．已知集合
，
，则满足条件
的映射
的个数是 ( )
（A）2 （B）4 （C）5 （D）7
３．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是
( )
 |
(A ) (B) (C) (D)
４．定义两种运算：
，
，则函数
为（ ）
（A）奇函数 （B）偶函数
（C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数
５．偶函数
在
上单调递增，则
与
的大小关系是 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
６．已知函数
，且正数C为常数．对于任意的
，存在一个
，使
，则称函数
在D上的均值为C. 试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：________________.
7. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
８．已知
定义域为
，且对任意的、
，恒有
，
时，
．
（１）求
的值，并证明
；
（２）求证：在的定义域内恒有
．
９．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：
（1）对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
（2）f(1)=1
（3）若
，
，
，则有
（Ⅰ）试求f(0)的值；
（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；
（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x..
10. 设
、
为常数，
：把平面上任意一点
（，）映射为函数
（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当
时，
，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值
，得
，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？
答案：
１．D．２．D．３．C．４．A．５．D．6．
，
， 
（
）．
7．450．８．略．
９．（I）令
，
依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0.
又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0.
（Ⅱ）任取
，可知
,
则
,
即
，故
于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1
因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，
（Ⅲ）证明：
研究①当
时，f(x) ≤1<2x
②当
时，
首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴
.
显然，当
时，
成立.
假设当
时，有
成立，其中k＝1，2，…
那么当
时，
可知对于
，总有
，其中n=1，2，…
而对于任意，存在正整数n，使得
，
此时
,
③当x=0时，f(0)=0≤2x..
综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x) ≤2x成立.
10. (1)假设有两个不同的点（，），（，
）对应同一函数，即
与
相同，
即 
对一切实数x均成立。
特别令x=0，得a=c；令
，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.
故不存在两个不同点对应同函数。
（2）当
时，可得常数a0，b0，使
。
由于
为常数，设
是常数.
从而
。
（3）设，由此得
（
，
）
在映射F下，
的原象是（m，n），则M1的原象是
消去t得
，即在映射F下，M1的原象
是以原点为圆心，
为半径的圆．