2007届高三数学二轮复习新型题专题训练
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 定义行列式运算：
，将函数
的图象向左平移m个单位
(m>0)，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是
A．
B．
C．
D．
2．以一个长方体的四个顶点为顶点的四面体中，四个面都是直角三角形的四面体有
A．8个 B．16个 C．24个 D．48个
3. 给出下列一系列化合物的分子式: 
则该系列化合物中,分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近
A． 95% B． 96% C． 97% D．98%
4．设M是
内一点，且
，定义
，其中m、n、p分别是
的面积，若
，则
的最小值是
A．8 B．
5. 从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6. 已知椭圆C：
的右准线为l1，直线l2的方程为3x+4y—18=0.
若P是椭圆C上的点，P到l2、l1的距离分别为d1、d2，则d1+
d2的最小值为
A．3
B．
7. 给定一条双曲线，过这条双曲线所在平面内的一点作n条直线，每条直线与双曲线有且只有一个交点，则n的所有可能的取值的集合为
A．{0，2} B．{0, 2, 4} C．{0, 2, 3, 4} D．{1, 2, 3, 4}
8. 正方体ABCD－A1B
A. 
B. 
C. 
D.
9．已知
={(x，y)x+y
6，x
0，y0}，A={(x，y) x4，y0，x－2y0}，若向区域
上随机投一点
， 则点落入区域
的概率为
A．
B．
C．
D．
10．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有
A．12
B．
11．如图，圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播. 若D是DFE
弧与
轴的交点，设
)，圆弧型声波DFE在
传播过程中扫过平行四边形
的面积为
(图中阴影部分)，
则函数
的图象大致是
 |
A． B． C． D．
| |
R)满足：对一切xR，f(x)>0，
时，当x
时
，则
A．
B．
C．
D．
13．已知函数y=
x3+x2+x的图像C上存在一定点P满足：若过点p的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，就恒有y1+y2为定值y0，则y0的值为
A．－
B．－
C．－
D．－2
14．如图，直三棱柱ABB1—DCC1中，
，
AB= 4，BC=2，CC1=1，DC上有一动点P，则
APC1
周长的最小值为
A．5+
B．5－ C．4+ D．4－
15．若m，n
，其中
(i=0，1，2)
{1，2，3，4，5，6}，并且m+n=
606，则实数对(m，n)表示平面上不同的点的个数为
A．32个 B． 30个 C．62个 D．60个
16．一次研究性课堂上，老师给出函数
，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：
甲：函数f (x)的值域为（－1，1）； 乙：若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)；
丙：若规定
，
对任意
恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
17．有一半径为R的圆柱，被与轴成45°角平面相截得“三角”圆柱ABC，则此“三角”圆柱的展开图为
A. B. C. D.
18．如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数
的部分图像，则
可能是：
A．
B．
C．
D．
19．国际上常用恩格尔系数（恩格尔系数=
）来
衡量一个国家和地区人民生活水平的状况。根据联合国粮农
组织提出的标准，恩格尔系数在60%以上为贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕。一个地区今年刚好脱贫，以后每年食物支出金额和总支出金额分别以5%和10%的年增长率递增，如果该地区的生活水平要达到富裕，那么至少需要（可参考
的二项展开式进行估算）
A．5年 B．7年 C．9年 D．11年
20．根据表格中的数据，可以判定方程
的一个根所在的区间为
| x | －1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0.37 | 1 | 2.72 | 7.39 | 20.09 |
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
A．
B．
C．
D．
21．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，那么这个三棱锥的体积大小
A．有唯一确定的值 B．有2不同的值
C．有3个不同的值 D．有3个以上不同的值
22．函数
（
）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数.对于非线性可导函数
，在点
附近一点
的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：
.
利用这一方法，
的近似代替值
A．大于
B．小于
C．等于 D．与的大小关系无法确定
23．若m、n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位（例如，134＋3802＝3936），则称（m,n）为“简单的”有序对，而m+n称为有序数对(m,n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是
A．20
B．
24．已知函数的定义域为
，部分对应值如下表．
为的导函数，函数
的图象如下图所示．
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
若两正数
满足
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
25．已知中 ，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上有高，以下结论：①
;②
为锐角三角形③
；④
，其中正确的个数是
A．1
B．
26. 电缆绕在圆柱形的架子上，如图，若空架时架芯直径为
满架时直径为
则满架时所绕的电缆的长是（按电缆的中心线计算各圈的长
度，π取3）
A．
C．
27．如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周
上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折
痕为CD，设CD与OM交于P，则点P的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
28. 若实数x，y满足
则
的最小值为
A．3
B．
C．
D．
29．已知实数a，b均不为零，
，且
，则
等于
A．
B．
C．
D．
30．如图，点P在
OMA上或它的内部运动，且
x
+ y
(x，yR)，当y取最大值时，x的取值范围是
A．
B．
C．
D．
31．称
为两个向量
、
间的“距离”.若向量
、满足:①
;②
;③对任意的
,恒有
则
A．
B．
C．
D．
32．已知双曲线
的左、右顶点分别为A、B，双曲线在第一象限的图像上有一点P，
，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题每小题5分，把答案填在题中横线上。
1．根据绝对值的几何意义可求得：函数
的最小值为0；函数 ＋
的最小值为1；函数＋
的最小值为2．则函数
＋
的最小值为______________．答案：56
2．已知
均为实数），请推测a=
，b= .
答案：a=6 b=35
3．考察下列一组不等式：
.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.
3．答案：
（或
为正整数）.注：填
以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分；
若填
或
可给3分.
4. 一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有一个是正确的答案，每题选择正确得3分，不选或选错得0分，满分150分.学生甲选对任一题的概率为0.8,则该生在这次测试中成绩的期望值是_________,标准差是_____________. 答案：120,
5. 椭圆
的长轴为A
_____________.答案：, 8
6．我们知道：“过圆为
的圆外一点作它的两条切线
、
，其中、
为切点，则
．”这个性质可以推广到所有圆锥曲线，请你写出其中一个：
．
6．答案：①过抛物线
（
）外一点作抛物线的两条切线、（、 为切点），若
为抛物线的焦点，则
．（如果学生写出的是抛物线的其它方程，只要正确就给满分）
②过椭圆
（
）外一点作椭圆的两条切线、（、为切点），若为椭圆的一个焦点，则．（如果学生写出的是椭圆的其它方程，只要正确就给满分）
③过双曲线
（
）外（两支之间）一点（不在渐近线上）作双曲线的两条切线、（、为切点），设为双曲线的一个焦点．⑴若、在同一支，则；⑵若、不在同一支，则
平分
的邻补角．（如果学生写出的是双曲线的其它方程，只要正确就给满分）
7. 设
，
，求
＝___________ . 答案：
1
8．9．（从给出的三道选做题中选择其中两道作答）
① 如图，圆内的两条弦
、
相交于圆内一点P，
已知
，则
② 已知点
上的点，则
的最大值是
③ 函数
的最大值是
.
答案：① 
② 2b
③ 5
10．设全集
， 集合
，
，若
恒成立，则实数r的最大值为___.
答案：
11．有以下四个命题(
)：(1) n = n+1；
(2) 
； (3) 2+4+6+…+2n = n2+n+2； (4) 凸n边形对角线的条数 
.
其中满足“假设
时命题成立，则当n=k+1时命题也成立”，但不满足“当n=
（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是_____.
答案：(1) (3)
12．按下列程序框图来计算：
如果x=5,应该运算 次才停止. 答案： 4
13．对一切实数x，令为 [ x ]不大于x的最大整数，则函数f(x)= [ x ]称为高斯函数或取整函数.
（1）计算 f (－0.3)+f (1)+f (1.3)=___________ ；
（2）若
，nN*，
为数列{a n}的前n项和，则
=____________ .
答案：1；
14．在如图所示的九宫格中，用红、黄、蓝三种颜色涂其中三格，
每种颜色只涂一格，且红色不与另外两种颜色相邻(有公共边
的方格称为相邻)，则不同的涂法种数为 ．(用数字
作答) 答案： 212
15．在斜坐标系xOy中，
分别是x轴，y轴的单位向量.对于坐标平面内
| |
=
，则（x，y）叫做P的斜坐标.
（1）已知P的斜坐标为(，1)，则
.
（2）在此坐标平面内，以O为原点，半径为1的圆的方程是 .
答案：
；
16. 有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”（注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍），由此诗知该君第二日读的字数为 . 答案： 9910
17. 已知A（－1，0），B（2，1），C（1，－1）．若将坐标平面沿x轴折成直二面角，则折后
的余弦值为 ． 答案： 
18. 已知直线
和平面
，试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断
⊥
的真命题 ．
18. 答案： 
⊥ 或 
⊥
19．试构造一个函数
，使得对一切
有
恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是
.
答案：的图像部分关于原点对称，部分关于轴对称，如
．
20．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以
三、解答题：本大题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
1. 已知向量
，
，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足
，其中O为坐标原点，k为参数.
（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）如果动点M轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足
，求实数k的取值范围.
1. 简要答案：（1）所求方程为（1—k）x2 +2(k—1)x+y2 = 0
若k=1时，轨迹为一条直线；若k=0，则为圆；若k>1，则为双曲线；若0<k<1或k<0，则为椭圆.
(2) 当时，方程为
，表示椭圆，分0<k<1或k<0两种情况，可求得
.
2. 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积
后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”.
试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点
到直线
的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.
2. 评分说明：(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.
(ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准进行评分.
[解] 点
到直线的距离为
.
…… 4分
“逆向”问题可以是：
(1) 求到直线的距离为2的点的轨迹方程.
…… 10分
[解] 设所求轨迹上任意一点为
，则
，
所求轨迹为
或
.
…… 14分
(2) 若点到直线
的距离为2，求直线
的方程. … 10分
[解] 
，化简得
，
或
，
所以，直线的方程为
或.
…… 14分
意义不大的“逆向”问题可能是：
(3) 点是不是到直线的距离为2的一个点？ …… 6分
[解] 因为，
所以点是到直线的距离为2的一个点.
……10分
(4) 点
是不是到直线的距离为2的一个点？ …… 6分
[解] 因为
，
所以点不是到直线的距离为2的一个点.
……10分
(5) 点是不是到直线
的距离为2的一个点？ …… 6分
[解] 因为
，
所以点不是到直线的距离为2的一个点. ……10分
3. 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A1、A2、A3；田忌的三匹马B1、B2、B3；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜，双方均不知对方的马出场顺序。
（1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A1>B1>A2>B2>A3>B3；则田忌获胜的概率是多大？
（2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A1>B1>A2>B2>B3>A3；则田忌获胜的概率是多大？
3. 解：（1）田忌获胜的概率是
；
（2）田忌获胜的概率是
。
4．在中，
.
(1) 证明:
;
(2) 若
, 求
的值.
4. 解：（1）设
,则
=
,
,
,
又
,
.
(2) 
=
,
|
| 耐 磨 度 | |||||
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||
| 硬 度 | 5 | 1 | 3 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 7 | 5 | 1 | |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 9 | 3 | |
| 2 | 1 | 2 | 6 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | |
5．某研究所试制出一大批特种陶瓷刀，他们从这批产品中随机抽取了50个样本，检测它们的硬度和耐磨度.硬度和耐磨度各分为5个档次，检测结果如下表.如表中所示硬度为5、耐磨度为4的刀具有3把.若在该批产品中任选一把刀具，其硬度记为，耐磨度记为.
（1）试根据这50个样本估计
的概
率是多少?
且
的概率是多少？
（2）若从这一大批产品中任 意取出3把
刀具，则这3把刀具至少有2把的耐磨度
为5的概率是多少？
（3）根据这50个样本估计的期望值.
5. 解：(1) 
（2）由（1）可知，任取1把刀具，其耐磨度为5的概率
，故任取3把，至少有2把耐磨度为5的概率为
；
（3）由题意可知的分布列为
|
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
.
6. 设F(x)＝
(0＜x＜1)
（1）求F(x)的最小值.
（2）设p、q、r为正数，且2p＝q＋r，q≠r，试证明
＜
6. 解：（1）令G(x)＝
.
令
G(x)的极小值，
也是最小值，
（2）由(1)知，当0＜x＜1且
……①
令
∵q≠r，∴x≠
不等式②即为：
由①可知，证毕.
7. 在数列
中，
（Ⅰ）试比较
与
的大小；
（Ⅱ）证明：当
时，
.
7. 解：（Ⅰ）由题设知，对任意
，都有
，
………………………………6分
（Ⅱ）证法1：由已知得，
又
.
当时，
…………………………………10分
设
①
则
②
①-②，得
……………………14分
证法2：由已知得，
（1） 当
时，由
，知不等式成立。………8分
（2） 假设当
不等式成立，即
，那么
要证 
，只需证
即证 
，则只需证
………………10分
因为
成立，所以成立.
这就是说，当
时，不等式仍然成立.
根据（1）和（2），对任意，且，都有……14分
8.
杨辉是中国南宋末年的一位杰出数学家、数学教育家，他的数学著作颇多，他编著的数学书共5种21卷.在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和
算法.他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果.它的许多性质与组合数的性质有关.杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律，古今中外，许多数学家如贾宪、先世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作，如图是一个11阶的杨辉三角,试回答：（其中第（Ⅰ）~（Ⅴ）小题只须直接给出最后的结果，无须求解过程）
（Ⅰ）记第
行中从左到右的第
个数为
,则数列
的通项公式为 ；
阶杨辉三角中共有
个数.
（Ⅱ）第
行各数的和是
.
（Ⅲ）阶杨辉三角的所有数的和是
.
（Ⅳ）将第
行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于 .
（Ⅴ）第
行除去两端的数字1以外的所有数都能被
整除，则整数一定为 （在下面选项中选择一个你认为正确的代号）。
A. 奇数 B. 质数 C. 非偶数 D. 合数
（Ⅵ）在第3斜列中，前5个数依次为1、3、6、10、15；第4斜列中，第5个数 为35，显然1+3+6+10+15=35.事实上，一般地有这样的结论：
第
斜列中（从右上至左下）前
个数之和，一定等于第
斜列中第个数.试用含有、（
）的数学公式表示上述结论并证明其正确性.
8. 解:（1）
（6）
9. 如图，已知
是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱
的中点，
为
的中点．
（1）求证：
；
（2）求直线到平面
的距离；
（3）求二面角
的大小．
9. (1)证明: 连结C1E，则C1E^A1B1，
又∵A1B1^C1C，∴A1B1^平面EDC1，∴A1B1^DE，
而A1B1//AB，∴AB^DE. ·························································5分
(2) 取AB中点为F，连结EF、DF，则EF^AB，∴AB^DF.
过E作直线EH^DF于H点，则EH^平面DAB，∴EH就是直线A1B1到平面DAB的距离. 在矩形C1EFC中，∵AA1=AB=2，∴EF=2，C1E=，DF=2,
∴在△DEF中,EH=，
故直线A1B1到平面DAB的距离为. ·····························10分
(3) 过A作AM^BC于M点,则AM^平面CDB,
过M作MN^BD于N点,连结AN,则AN^BD，
∴∠ANM即为所求二面角的平面角，
在Rt△DCB中，BC=2，DC=1，M为BC中点，∴MN=，
在Rt△AMN中，tan∠ANM=，
故二面角A-BD-C的大小为arctan. ·································15分
10． 某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元． 甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1工时、2工时，加工一件乙所需工时分别为2工时、1工时，A，B两种设备每月有效使用台时数为
． 求生产收入最大值的范围？
10． 解： 设甲、乙两种产品月的产量分别为，件，
1分
约束条件是 
目标函数是
------------ 4分
由约束条件画出可行域，如图（略）． ------ 6分
将它变形为
，
这是斜率为
、随
变化的一簇直线．
是直线在轴上的截距，当最大时最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值．
由
解得 
-------------------- 8分
在这个问题中，使取得最大值的
是两直线
与
的交点
．
∴ 
--------------------- 10分
又∵ 
∴ 
--------------------- 11分
答：月生产收入最大值的范围是
． ---------------------
12分
11．把正整数按上小下大，左小右大的原则排成三角形数表示（每一行比上一行多一个数）， 如右图所示：设
是位于这个三角形数表中从上往下数第
行，从左往右数第
个数，如
.
（1）若
，求
的值；
（2）记三角形数表从上往下数第n行各数之和为
，
令，
，若数列
的前
项和为
，
求
的值.
11．解：①∵
又∵
，
∴
…………………….3分
又∵
∴
………6分
②
…9分
当
时
∴
………………………………11分
∴
…………………………………………………….12分
12. 已知各项均为正数的数列{a n}满足 
，
，其中nN*.
（1）求a1和a2的值；
（2）求证：
；
（3）求证：
.
12. 简要答案：（1）
，
；
（2）由已知可得，
，所以有
，即得；
（3）把（2）的结果累加有
，于是，
；
，于是，
，
，得
，对前式累加得，
，得，
，
.
13．已知点P在曲线C：
上，曲线C在点P处的切线与函数y=kx(k>0)的图象交于点A，与x轴交于点B，设点P的横坐标为t，点A、B的横坐标分别为xA、xB，设f(t)=xA·xB.
（1）求f(t)的解析式；
（2）设数列
的通项公式；
（3）在（2）的条件下，当1<k<3时，证明不等式： 
| |
（2）
① 若k=3时，
是以0为前项的常数数列
an=1
② 若k≠3时，数列
为公比的等比数列
综合①②得
（3）证明：
14．已知a＞1，数列{an}的通项公式是an =
，前n项和记作Sn（n = 1，2，…），规定S0 = 0. 函数f（x）在S0处和每个区间
（i = 0，1，2，…）上有定义，且f（S0）= 0，f（Si）= ai（i = 1，2，…）.当x∈（Si，Si+1）时，f（x）的图像完全落在连结点Pi（Si，f（Si））与点Pi+1（Si+1，f（Si+1））的线段上.
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）设f（x）的图像与坐标轴及直线l ：x = Sn（n = 1，2，…）围成的图形面积为An，求An及
；
（Ⅲ）若存在正整数n，使得An＞a2，求a的取值范围.
14. 解：（Ⅰ）f (x)的定义域是{S0}∪
,
由于所有的an都是正数，故Sn是单调递增的.
∵
∴f
(x)的定义域是
.
（Ⅱ）∵
=
与i无关.
∴所有的P1，P2，P3 …共线，该直线过点P1（a，a），斜率为1－a，
∴A1 =
当n≥2时，An是一个三角形与一个梯形面积之和（如上图所示）.
=
=
于是An =
，故
15．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.
| 第一排 | 明文字符 | A | B | C | D |
| 密码字符 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
| 第二排 | 明文字符 | E | F | G | H |
| 密码字符 | 21 | 22 | 23 | 24 | |
| 第三排 | 明文字符 | M | N | P | Q |
| 密码字符 | 1 | 2 | 3 | 4 |
设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数.
（Ⅰ）求P（ξ=2）
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.
15．解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码.
…………………………………………4分
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.
若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4.
若
（或用
求得）. ………………………………8分
的分布列为：
| ξ | 2 | 3 | 4 |
| p |
|
|
|
……………………………12分
16．设无穷数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当
（Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式
对于任意的
都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；
（Ⅱ）若
，其中，且记数列{bn}的前n项和Bn，证明：
16．解：（Ⅰ）令
，
则无穷数列{an}可由a1 = 1，
给出.
显然，该数列满足
，且
…………6分
（Ⅱ）
……………………………………8分
又
17． 已知点
都在椭圆
上，、AC分别过两个焦点
，当
时，有
成立.
（1）求此椭圆的离心率；
（2）设
当点A在椭圆上运动时，求证
始终是定值.
17．解：（I）当
时，
由椭圆定义，得
在
中，
（II）由
，得
椭圆方程化为
，即
焦点
设
（1）当直线AC的斜率存在时，直线AC的方程为
代入椭圆方程，得
，则
同理可得
（2）当直线AC的斜率不存在时，
综上所述，是定值6.
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E为AB上一点，以直线EC为折线将点B折起至点P，并保持∠PEB为锐角，连结PA、PC、PD，取PD的中点F，若有AF∥平面PEC．
（Ⅰ）试确定点E的位置；
（Ⅱ）若异面直线PE、CD所成的角为60°，
求证：平面PEC⊥平面AECD．
18．（Ⅰ）点
为
的中点
证明如下：
取
的中点
，连
．
由条件知
，
．
则
四点共面．
平面
，
平面
平面
，
．
则四边形
为平行四边形．
．则为的中点．
（Ⅱ）
所成的角为
，∠PEB为锐角，
∴∠PEB＝60°．
，∴△PEB为等边三角形．
∴
．
作PH⊥平面
，垂足为H，则HB = HE = HC．
∴H为△CBE的外心．
∵△CBE是直角三角形且∠B为直角，
∴外心H为斜边CE的中点．
∴H在CE上
平面，∴平面
平面．
19．已知数列
满足
，
．
（Ⅰ）求数列的通项公式
；
（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
；
（Ⅲ）设
，数列
的前项和为
．求证：对任意的，
．
19. 解：（Ⅰ）
，
，…3分
又 
，
数列
是首项为
，公比为
的等比数列．…5分
， 即
. ………………6分
（Ⅱ）
．
．………9分
（Ⅲ）
，
．
……………………10分
当
时，则
．
， 对任意的，．
……………14分
20．设关于x的方程
有两个实根
、
，且
.定义函数
（Ⅰ）求 
的值；
（Ⅱ）判断在区间
上的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）若
为正实数，证明不等式：
20. 解：（Ⅰ）∵
是方程
的两个实根
∴
∴
同理
∴
…………3分
（Ⅱ）∵
∴
…………4分
当
时，
…………5分
而
∴
在
上为增函数
…………7分
（Ⅲ）∵
且
∴
∴
…………9分
由（Ⅱ）可知
同理可得
…………10分
∴
∴
…………12分
又由（Ⅰ）知
∴
所以 …………14分
21. 角铁是一种工业用钢料（如图），它成直二面角PQ－MN－RS（PQMN、RSMN是全等的长方形）. 取MN的中点O，在QP上取点B、B1，在RS上取点A、A1，使 
MOB=MOA=B1ON=A1ON. 为给一物体棱的转角处包上角铁，可沿OA、OA1、OB、OB1切割出OAA1、OBB1，然后将角铁绕内部折叠，将OA与OA1，OB与OB1焊合，并使MON=
.
（1）设AB的中点为D，A1B1的中点为D1，证明焊接前M、D、D1、N四点共面；
（2）求切割线OA与棱OM所成的角.
21. 简要答案：（1）方法一，证明DD1与MN平行
方法二过MN作一平面平分二面角，证D、D1在所 作平面内.
(2) 