绝密★启用前 试卷类型：A
广东省深圳市2007年高三年级第二次调研考试
数学（理科）
2007．5
本试卷分选择题和非选择题（含选做题）两部分，共6页，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1． 答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的重重信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。
3． 百选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4． 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡与试卷一并交回。
参考公式：
如果说事件A、B互斥，那么
;
如果C为椭圆
的半焦距,则该椭圆的准线方程为
.
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共4分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
A 2 B 3 C 4 D 8
2．已知
A 4
B —4
C 
D 
3．设
，
，
，则
的大小顺序是
A 
B
C 
D 
4．在△ABC中，分别是∠A、∠B、∠C的对边，且
，则∠A等于
A 60° B 30° C 120° D 150°
5．已知命题
：
，命题
： 
。若命题
是真命题，则实数
的取值范围为
A
B 
C 
D 
6．已知
，A是由直线
围成的曲边三角形的平面区域，若向区域
上随机投一点P，则P落在区域A内的概率为
A 
了 B
C 
D 
7．在教材中，我们学过“经过点
的平面的方程是：
”。现在我们给出平面
的方程是
，平面
的方程是
，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是
A 
B
C 
D
8．已知函数
的定义域为[—2，
，部分对应值如下表。
为的导函数，函数
的图象如下图所示。
|
| —2 | 0 | 4 |
|
| 1 | —1 | 1 |
若两正数
的取值范围是
A
B 
C 
D 
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，分必做题和选做题，每小题5分，共30分，必做题：第9、10、11、12题为必做题。
9．已知数列{
}是公差不为0的等差数列，
为数列{}的前
项和，
______________.
10．设二项式
展开式各项的系数和为P，二项式系数之和为S，P+S=72，则正整数
，展开式中常数项的值为
。
11．阅读下面的程序框图，输出的结果为
|
12．已知抛物线
与直线
交于A、B两点，如果在该抛物线上存在点C，使得
。
▲ 
选做题：从第13、14、15三道题中选做两题，三题都答的只计算前两题的得分。
13．如图，⊙
和⊙
交于A、B两点，点在⊙上，⊙的弦
分别与弦AB、⊙交于D、E两点，若
则⊙的半径为
。
14．若直线
有两个不同的交点，则实数的取值范围是
。
15．关于
的不等式
则实数的最大值是
。
三、解答题：本大题6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知
，设
。
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当
时，求函数的最大值及最小值。
17．（本小题满分12分）
有编号为
个学生，入坐编号为个座位。每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为
，已知
时，共有6种坐法。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求随机变量的概率分布列和数学期望。
18．（本小题满分14分）
如图，正方形
所在的平面与平面
垂直，是
的交点，
，且
。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求直线AB与平面
所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角
的大小不。
19．（本小题满分14分）
设是定义在[—1，1]上的奇函数，且当
时，
（Ⅰ）若函数的解析式；
（Ⅱ）当
时，求函数在（0，1]上的最大值
；
（Ⅲ）如果对满足的一切实数，函数在（0，1]上恒有
，求实数的取值范围。
20．（本小题满分14分）
已知椭圆C的中心为原点，点F（1，0）是它的一个焦点，直线
过点F与椭圆C交于点A、B两点，且当直线垂直于轴时， 
。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线
，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足
为正三角形。如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。
21．（本小题满分14分）
已知数列
满足
。
（Ⅰ）试判断数列
是否为等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）设
，求数列
的前
；
（Ⅲ）设
，数列
的前
。求证：对任意的
。
广东省深圳市2007年高三年级第二次调研考试
数学（理科）答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| C | B | C | D | A | D | A | B |
二、填空题：第9、10、11、12题为必做题，第13、14、15题为选做题，三题都答的只计算前两题的得分．每小题5分(第10题前空2分，后空3分)，满分30分．
9．
．
10．
，
．
11．
．
12．
．
13．
．
14．
． 15．．
三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知
，设
．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当
，
时，求函数的最大值及最小值．
解：（Ⅰ）
= 
……2分
= 
= 
…………………3分
= 
=
． ………………5分
∴的最小正周期
．
………………………………6分
（Ⅱ）∵ 
， ∴
．
∴当
，即=
时，有最大值
；
………………10分
当
，即=
时，有最小值
．
……………12分
17．（本小题满分12分）有编号为
的个学生，入坐编号为的个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为
，已知
时，共有种坐法．
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求随机变量的概率分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）当时，有
种坐法，
……………………………2分
，即
，
，
或
（舍去）．
．
………………………………4分
（Ⅱ）
的可能取值是
，
又
， 
，
，
， ………………………………8分
的概率分布列为：
|
|
|
|
|
|
| P |
|
|
|
|
……………………10分
则
．
……………………12分
18．（本小题满分14分）
如图，正方形所在的平面与平面垂直，
是
和
的交点，
，且．
(Ⅰ)求证：
平面；
(Ⅱ)求直线
与平面所成的角的大小；
(Ⅲ)求二面角
的大小．
解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，
． ………………………1分
∵平面
平面，
又∵
，
平面
．……………………3分
平面，
． …………………………4分
平面． ………………5分
(Ⅱ)连结
，
平面，
是直线与平面
所成的角．
……………………………5分
设
，则
，
，
……………………………………………6分
，
．
即直线与平面所成的角为
． ……………………………………………8分
(Ⅲ)过
作
于
，连结
． ……………………………………………9分
平面，
．
平面
．
是二面角的平面角． ……10分
∵平面平面，
平面．
．
在
中， ，有
．
由(Ⅱ)所设可得
，
，
．
……………………………………………12分
．
．
∴二面角等于
．
……………………………………………14分
解法二: ∵四边形是正方形 ，
，
∵平面平面，
平面，
……………………………………………2分
∴可以以点为原点，以过点平行于
的直线为轴，分别以直线
和
为
轴和
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
．
设
，则
，
是正方形的对角线的交点，
．…………………………………4分
(Ⅰ)
，
，
，
，
………………………………………6分
平面．
……………………………………………7分
(Ⅱ) 平面，
为平面的一个法向量，
……………………………………………8分
，
． ……………………………………………9分
．
∴直线与平面所成的角为．
………………………………………10分
(Ⅲ) 设平面
的法向量为
，则
且
，
且
．
即
取
，则
， 则
． ……………………………………………12分
又∵
为平面的一个法向量，且
，
，
设二面角的平面角为
，则
，
．
∴二面角等于．
……………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
设是定义在
上的奇函数，且当
时， 
．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ) 当
时，求函数在
上的最大值；
(Ⅲ)如果对满足的一切实数，函数在上恒有
，求实数的取值范围．
解: (Ⅰ)当
时， 
，则
．
……………………………2分
当
时， 
．
……………………………3分
…………………………4分
(Ⅱ)当时
．
………5分
(1)当
，即
时
当
时，
， 当
时，
，
在
单调递增，在
上单调递减，
．
……………………………7分
(2)当
，即
时，
，
在单调递增．
，
……………………………9分
……………………………10分
(Ⅲ) 要使函数在上恒有，必须使在上的最大值
．
也即是对满足的实数，的最大值要小于或等于
． ………………11分
（1）当时，
，此时在
上是增函数，
则
．
，解得
． ………①
………………………………12分
（2）当时，
此时，在
上是增函数， 的最大值是
．
，解得
．………②
……………………………13分
由①、②得实数的取值范围是．
……………………………14分
20．（本小题满分14分）
已知椭圆
的中心为原点，点
是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于
两点，且当直线垂直于轴时，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线
，使得在椭圆的右准线上可以找到一点
，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，则
．……①……1分
当垂直于轴时，两点坐标分别是
和
，
，则
，即
．………② …3分
由①，②消去，得
．
或
（舍去）．
当
时，
．
因此，椭圆的方程为
．
……………………………5分
（Ⅱ）设存在满足条件的直线．
(1)当直线垂直于轴时，由（Ⅰ）的解答可知
，焦点到右准线的距离为
，此时不满足
．
因此，当直线垂直于轴时不满足条件．
……………………………7分
（2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为
，则直线的方程为
．
由
，
设两点的坐标分别为
和
，则
，
．
． ……………………9分
又设的中点为，则
．
当为正三角形时，直线
的斜率为
．
，
．
…………………………11分
当为正三角形时，
，即
＝
，
解得
，
．
…………………………13分
因此，满足条件的直线存在，且直线的方程为
或
．……14分
21．（本小题满分14分）已知数列
满足
，
．
（Ⅰ）试判断数列
是否为等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）设，求数列
的前项和；
（Ⅲ）设，数列
的前项和为
．求证：对任意的
，．
解：（Ⅰ）
，
，……………3分
又
，
数列是首项为，公比为
的等比数列．……5分
（Ⅱ）依（Ⅰ）的结论有
，即
.………………6分
．
． ………………9分
（Ⅲ）
，
．
……………………10分
当
时，则
．
， 对任意的，．
………………………14分
命题：喻秋生 李志敏 程武军 审题：石永生