湖北省武汉市2007届高三年级调研考试
理科数学试题
本试卷150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．本卷1—10题为选择题，共50分；11—21题为非选择题，共100分。请把答案全部写在答题卷上，答在试题卷上无效。考试结束后，监考人员将答案卷收回。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置。
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
4．非选择题请用0.5毫米黑色签字笔答在答题卷上每题所对应的答题区域内，答在指定区域外无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A · B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
率
.
球的表面积公式 
其中R表示球的半径
球的体积公式 
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合
，则实数a的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．（－1，+∞） D．（－∞，－1）
2．若
都是实数，i是虚数单位，则
= （ ）
A．1+2i B．1－2 i C．2+ i D．2－i
3．已知
的值应是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．若函数
的反函数为
，则满足>1的x的集合是 （ ）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（－1，1） D．（0，1）
5．在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中的一组，已知该组上的直方图的高为h，则该组的频率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．在等差数列
中，若
的值为 （ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
7．已知椭圆
有相同的准线，则动点P（n，m）的轨迹为 （ ）
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．直线的一部分
8．EF是两条互相垂直的异面直线m、n的公垂线段，点P是线段EF上除E、F外一动点，若点A是m上不同于垂足E的点，点B是n上不同于垂足F的点，则△ABP是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上均有可能
|
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
|
单调递增，如果
的值 （ ）
A．可能为0 B．恒大于0 C．恒小于0 D．可正可负
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．6人分乘两辆出租车，每车最多4人，则不同的乘车方法共有 种（填数字）.
12．在
的展开式中，x5的系数为
.
13．在约束条件
下，当
时，目标函数
的最大的变化范围是
.
14．若函数
=
.
15．直线
为参数）交于A、B两点，点M
是线段
AB的中点，则点M到y轴的距离是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
|
已知向量
其中
.
（1）求证：
；
（2）
的值域.
17．（本小题满分12分）
|
，E为CP的中点.
（1）求直线DE与平面PAC所成角；
（2）求二面角E—AD—C的大小；
（3）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD成立？
如果存在，求出MC的长；如果不存在，请说明理由.
18．（本小题满分13分）
已知函数
.
（1）当
时，判断函数
上的单调性；
（2）当a=3时，求函数
上的最大值.
19．（本小题满分10分）
在一个单位中普查某种疾病，600个人去验血，对这些人的血的化验可以用两种方法进行：
方法一：每个人的血分别化验，这时需要化验600次；
方法二：把每个人的血样分成两份，取
个人的血样各一份混在一起进行化验，如果结果是阴性的，那么对这k个人只作一次检验就够了；如果结果阳性的，那么再对这k个人的另一份血样逐个化验，这时对这k个人共需作k+1次化验.
假定对所有的人来说，化验结果是阳性的概率是0.1，而且这些人的反应是独立的.将每个人的血样所需的检验次数作为随机变量
.
（1）写出方法二中随机变量的分布列，并求数学期望E（用k表示）；
（2）现有方法一和方法二中k分别取3、4、5共四种方案，请判断哪种方案最好，并说明理由.（参考数据：取0.93=0.729，0.94=0.656，0.95=0.591）
20．（本小题满分14分）
已知双曲线
，过上焦点F2的直线与下支交于A、B两点，且线段AF2、BF2的长度分别为m、n.
（1）证明mn≥1；
（2）若m>n，当直线AB的斜率
时，求
的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知定义在R上的单调函数，存在实数x0，使得对于任意实数x1、x2，总有
恒成立.
（1）求x0的值；
（2）若
且对任意正整数n，有
的大小关系，
并给出证明.
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．C 9．A 10．C
|
11．50 12．－160 13．[7，8] 14．1 15．10
三、解答题
16．解：（1）
. …………4分
（2）
. …………8分
…………12分
17．解：（1）（1）如图，连结AC，BD交于点0，
∵PA⊥底面ABCD， ∴平面PAC⊥平面ABCD.
又∵底面ABCD是菱形 ∴BD⊥AC， ∴DO⊥面PAC.
连结OE，则∠DEO为DE与平面PAC所成的角 …………2分
…………4分
（2）过点0作OF⊥AD于F，连结EF，由三垂线定理得EF⊥AD，
则∠EFO为二面角E—AD—C的平面角. …………6分
.
…………8分
（3）过点O作OM⊥PC于M，由△COM~△CPA，得
. …………10分
∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD， ∴PC⊥BD.
又PC⊥OM， ∴PC⊥面MBD.
所以，求M存在，且使CM=
. …………12分
方法二：向量法（参照给分）.
18．解：（1）
.
上是增函数. …………4分
（2）
…………6分
（i）当
（ii）当
当
所以，的单调递增区间是
单调递减区间是
. …………8分
由上知，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=2
又b>1，由2=b3－3b，解得b=2. …………10分
|
时取得最大值f（1）=2.
当
时取得最大值
.
所以，函数
上的最大值为
…………13分
19．解：（1）对于方法二，k个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为0.9k，呈阳性结果的概率为1－0.9k.
当k个人一组的混合血液呈阴性时，可以认为每个人需要化验的次数为
次；当k个人一组的混合血液呈阳性时，可以认为每个人需要化验的次验为
+1次.
所以
|
|
|
| ||
| P | 0.9k | 1－0.9k |
…………5分
（2）对方法一：
. …………6分
当k=3时，
；
当k=4时，
；
当k=5时，
. …………9分
比较知k=4时的方案最好 …………10分
20．解：（1）易知双曲线上焦点为
.
设直线AB的方程为
当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和－1，
此时mn=1.
当
代入双曲线方程，消去x得
. …………2分
…………4分
由双曲线的第二定义，知
，
…………8分
∴
综上，知mn≥1. …………10分
（2）设直线AB的方程为
，代入双曲线方程，消去y并整理得
…………8分
①
②
由①②，消去
即
③ …………12分
由
即为所求. …………14分
21．解：（1）令
…………2分
上的单调函数，且
…………4分
（2）由（1）得
. …………6分
从而
…………8分
…………10分
…………12分
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