北京市西城区2007年第二次抽样测试
高三数学试卷（文科）
本试卷分为第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟.
第一卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
|
，集合
，则下面论断正确的是 （ ）
|
|
|
B．A
SB
|
B D． SA
SB=
2．设m∈R，向量a=（1，m）. 若a=2，则m等于 （ ）
A．1 B．
C．
D．
3．若
的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数
的反函数. 若
的图象过点（3，4），则a等于 （ ）
A．
B． C．
D．2
5．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：
①
； ②AC//平面PDE； ③
.
其中正确论断的序号为 （ ）
A．①、②、③ B．①、③ C．①、② D．②、③
6．若
的值为 （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
7．设双曲线
的半焦距为c，离心率为
.若直线
与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于 （ ）
A．
B．
C．
D． 
8．袋中装有10个球，其中有2个红球、3个白球、5个黄球. 若取出一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分. 那么从袋中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为 （ ）
A．90种 B．100种 C．110种 D．120种
第二卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.）
9．已知
是等差数列，
.
|
11．设实数x，y满足
的最大值是
.
12．若函数
是R上的偶函数，则
的值可以是
.
（只要写出一个符合题意的值即可，不必考虑所有可能的情形）
13．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD边长为1，高AA1=，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是
；A，B两点的球面距离为
.
14．按下列程序框图运算：
|
规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.
若x=5，则运算进行 次才停止；若运算进行k 
N*）次才停止，则x的取值范围是
.
三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分12分）
已知
为第二象限的角，
为第三象限的角，
.
（I）求
的值.
（II）求
的值.
|
16．（本小题满分12分）
在20件产品中含有正品和次品各若干件，从中任取2件产品都是次品的概率是
（I）求这20件产品中正品的个数；
（II）求从中任取3件产品，至少有1件次品的概率.
|
17．（本小题满分14分）
如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB
（I）求证：AD⊥B1D；
（II）求证：A1C//平面AB1D；
（III）求二面角B—AB1—D的大小.
18．（本小题满分14分）
设
R，函数
.
（I）求
的单调区间；
（II）当
恒成立，求a的取值范围.
|
19．（本小题满分14分）
设直线
与椭圆
相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F.
（I）证明：
（II）若F是椭圆的一个焦点，且
，求椭圆的方程.
20．（本小题满分14分）
设数列的首项
R），且
n=1,2,3,….
（I）若
（II）若
，证明：
；
（III）若
，求所有的正整数k，使得对于任意
N*，均有
成立.
北京市西城区2007年第二次抽样测试
高三数学试卷（文科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，人40分
|
二、填空题：本大题共6上题，每小题5分，共30分。
8．5 10．120 11．2 12．答案不唯一；结果是
中的一个值即可；
13．1（2分），
14．4（2分），（2，4
（3分）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分12分）
（I）解：因为α为第二象限的角，
，
所以，
，………………………………………2分
……………………………………………………… 4分
又
，
所以，
…………………………… 6分
（II）解：因为β为第三象限的角，，
所以，
…………………………………………8分
又
，………10分
所以，
………………12分
16．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：设这20件产品中有n件次品，由题意得
所以n（n－1）=20，解得n=5（舍去n=－4）
所以，这20件产品中正品的个数为15。 …………………………6分
（Ⅱ）解：设从这20件产品中任取3件均是正品的事件为A，则至少有1件次品的事件为
由 
……………………9分
得 
所以，从中任取3件产品，至少有1件次品的概率是
………………12分
|
解法一（Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，
∴BB1⊥平面ABC，
∴BD是B1D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中点，
∴AD⊥BD，
根据三垂线定理得，AD⊥B1D
（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A1C. ………………………… 7分
∵DE平面AB1D，A1C
平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分
（Ⅲ）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG. ∵平面A1ABB1⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影， ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B—AB1—D的平面角 …………………………12分
设A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=
在△ABE中，FG=
·BE=
在Rt△DFG中，
，
|
…………………………14分
解法二：
建立空间直角坐标系D—xyz，如图，
则
证明：
，
∴
∴
即 AD⊥B1D ……………………4分
（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
∵
…………………………7分
，
……………………………………9分
（Ⅲ）设
是平面AB1D的法向量，则
，
故
；
同理，可求得平面AB1B的法向量是
……………………12分
设二面角B—AB1—D的大小θ，
，
∴二面角B—AB1—D的大小为
…………………………14分
18．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：对函数求导数，得 
………………3分
令
……………………4分
令
……………………5分
所以，的单调递增区间为
；
的单调递减区间为（－
，1） ……………………6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，
所以，在[0，2]上的最小值为
……………………8分
由
所以，在[0，2]上的最大值为
………………10分
因为，当
解得 
，
即a的取值范围是[－1，0] ……………………14分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：将
，消去x，得
① ……………………3分
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
所以 
…………………5分
（Ⅱ）解：设
由①，得 
………………7分
因为 
所以， 
消去y2，得 
化简，得
……………………11分
若F是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a2－1
代入上式，解得 
………………13分
所以，椭圆的方程为 
………………14分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解；因为
所以a2=－a1+4=－a+4，且a2∈（3，4）
所以a3=a2－3=－a+1，且a3∈（0，1）
所以a4=－a3+4=a+3，且a4∈（3，4）
所以a5=a4－3=a ……………………4分
（Ⅱ）证明：当
所以，
………………6分
②当
所以， 
综上， 
……………………8分
（Ⅲ）解：①若
因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 …………10分
②若
因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 …………12分
③若
，
因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 …………13分
综上，若0<a<1，则k=4m；
，则k=2m；若a=2，则k=m. m∈N*……14分