2007年北京市海淀区数学二模理科试题
一、选择题：
1．若集合
，则
（ B
）
A．
B．
C． 
D．
2．设
、
是不同的直线，
、
、
是不同的平面，有以下四个命题：
①
② 
③
④
，
其中为真命题的是 （ C ）
A． ①④ B． ②③ C． ①③ D．②④
3．“
”是“函数
的最小正周期为
”的
（ A ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．将圆
按向量a
平移后，恰好与直线
相切，则实数
的值为 （ B ）
A 
B 
C 
D 
5．在三角形
中，
，
，
，则
的值为
（ D ）
A 
B 
C 
D 
6．函数
的图象可能是下列图象中的
（ C ）
 |  |
7．以椭圆的右焦点
为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心O并交椭圆于点M，N，若过椭圆左焦点
的直线MF1是圆的切线，则椭圆的右准线与圆
（ A ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．位置关系随率心率改变
8．函数
（
）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数.对于非线性可导函数
，在点
附近一点
的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：
.
利用这一方法，
的近似代替值
（ A ）
（A）大于
（B）小于
（C）等于 （D）与的大小关系无法确定
二、填空题：
9． 若 
, 
，且
为纯虚数，则实数a的值为 -3
10．一个与球心距离为2的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 20
11．已知向量
=(4, 0)，
=(2, 2)，则
= （-2，2） ；与的夹角的大小为 90°
12．已知函数
，若
≥2，则
的取值范围是
13．有这样一种数学游戏：在
的表格中，要求每个格子中都填上1、2、3三个数字中的某一个数字，且每一行和每一列都不能出现重复的数字，则此游戏共有 12 种不同的填法
14．数列{ a
}，{ b}（
）由下列条件所确定：
（ⅰ）a1<0, b1>0 ;
（ⅱ）
≥2时，ak与bk满足如下条件：
当
时，ak= ak-1,
bk=
；
当
时，ak= , bk=b k-1.
那么，当a1＝－５，b1＝５时， { a}的通项公式为
当b1> b2>…>bn(n≥2)时，用a1，b1表示{ bk }的通项公式为bk= （k=2，3…，n）．
（１）
；（２）
三、解答题：
15．（本小题12分）
已知为钝角，且
求： （Ⅰ）
；
（Ⅱ）
.
解： （Ⅰ）由已知：
…………………2分
得
…………………5分
（Ⅱ）
…………………8分
∵
且
∴
…………………10分
∴
…………………12分
16．（本小题13分）
某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为
，
，；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为
.
（Ⅰ）如果把10万元投资甲项目，用
表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），
求的概率分布及
；
（Ⅱ）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.
解：（Ⅰ）依题意，的可能取值为1，0，-1
…………1分
的分布列为
|
| 1 | 0 |
|
| p |
|
|
|
…………4分
=
=…………6分
（Ⅱ）设
表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为
|
| 2 |
|
| p |
|
|
…………8分
…………10分
依题意要求
…………13分
注：只写出
扣1分
17．（本小题13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD, 
，
，E是BD的中点.
（Ⅰ）求证：EC//平面APD；
（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成角的正切值；
(Ⅲ) 求二面角P-AB-D的大小.
解法一：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连结EF、FD，
∵E是BP的中点，
∵EF//AB且
，
又∵
∴EF
DC∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC//FD
…………2分
又∵EC
平面PAD，FD
平面PAD
∴EC//平面ADE …………4分
（Ⅱ）取AD中点H，连结PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD
∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD内的射影
∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角 …………6分
∵四边形ABCD中，
∴四边形ABCD是直角梯形
设AB=2a，则
，
在
中,易得
,
，
又∵
，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴在
中，
…………10分
(Ⅲ)在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连结PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a …………11分
，又
∴
在
中，
13分
∴二面角P-AB-D的大小为
…………14分
解法二：（Ⅰ）同解法一 4分
（Ⅱ）设AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）可得
如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系. …………5分
则
，
，则
，平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1）， …………7分
所以，
可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为
所以 PB与平面ABCD所成角的正切值为
…………10分
(Ⅲ)易知
，则
，设平面PAB的一个法向量为
，则
，令
，可得
……12分
得
，
所以二面角P-AB-D的大小为
…………14分
18．（本小题13分）
已知：
，.
（I）求
、
、
；
（II）求数列
的通项公式；
（II）求证：
解：（I）由已知
，所以
1分
，所以
，所以
3分
（II）
即
所以对于任意的
， 
7分
（III）
∴
①
②
①─②，得
9分
∴
，
12分
又=1，2，3…，故
< 1
13分
19．（本小题14分）
如图，
和
两点分别在射线OS、OT上移动，且
，O为坐标原点，动点P满足
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样
的曲线？
（Ⅲ）若直线l过点E（2，0）交（Ⅱ）中曲线C于M、N两
点，且
，求l的方程.
解：（Ⅰ）由已知得
…………4分
（Ⅱ）设P点坐标为（x，y）（x＞0），由得
…………5分
∴ 
消去m，n可得
，又因
8分
∴ P点的轨迹方程为
它表示以坐标原点为中心，焦点在
轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线
的右支
…………9分
（Ⅲ）设直线l的方程为
，将其代入C的方程得
即 
易知
（否则，直线l的斜率为
，它与渐近线平行，不符合题意）
又
设
，则
∵ l与C的两个交点
在
轴的右侧
∴ 
，即
又由 
同理可得 …………11分
由得
∴
由
得
由
得
消去
得 
解之得：
，满足
…………13分
故所求直线l存在，其方程为：
或
…………14分
20．（本小题14分）
设关于x的方程
有两个实根
、
，且
.定义函数
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）判断
在区间
上的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）若
为正实数，证明不等式：
（Ⅰ）解：∵
是方程
的两个实根
∴
∴
同理
∴
…………3分
（Ⅱ）∵
∴
…………4分
当
时，
…………5分
而
∴
在
上为增函数
…………7分
（Ⅲ）∵
且
∴
∴
…………9分
由（Ⅱ）可知
同理可得
…………10分
∴
∴
…………12分
又由（Ⅰ）知
∴
所以 …………14分