北京市宣武区2006-2007学年度第二学期第二次质量检测
高三数学（理） 2007．5
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）
1. 如图，阴影部分所表示的集合是（ ）
A. 
B.
C.
D.
2. “m=3”是“直线
和直线
不重合而平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设a，b都是单位向量，且a与b的夹角为60°，且a＋b=（ ）
A. 2 B.
3 C.
D.
4. 要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况。应采用的抽样方法是（ ）
A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法
B. ①用分层抽样法，②用随机抽样法
C. ①用系统抽样法，②用分层抽样法
D. ①、②都用分层抽样法
5. 定义运算
，则函数
的图象大致为（ ）
6. 已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：
①
②
③
④
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ②③
7. 点P（－3，－1）在椭圆
（a>b>0）的左准线上，过点P且方向向量为m=（2，5）的光线，经过直线y=2反射后，通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A. 
B.
C.
D.
8. 对于任意函数f(x)，
，可按如图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据
，经过数列发生器输出
；
②若
，则数列发生器结束工作；
若
，则将
反馈回输入端，再输出
，依此类推。
现给出
，D=（0，1000）。若输入
，则发生器结束工作时，输出数据的总个数为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
第II卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9. 二项式
的展开式中的常数项为_____________。
10. 函数
的最小正周期为_____________，此函数的值域为_____________。
11. 不等式组
表示的平面区域的面积是_____________，
的最小值是_____________。
12. 设A为圆
上一动点，PA为圆的切线，且PA=1，则P点的轨迹方程为_____________。
13. A、B之间有6条网线路并联，它们通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线，且使这三条网线通过的最大信息量的和不小于6的取法共有_____________种。
14. 对于任意的两个实数对（a,b）和（c,d），规定：
（a,b）=（c,d），当且仅当a=c，b=d时成立，
运算“
”为：（a,b）（c,d）=（ac－bd，bc＋ad）
运算“
”为：（a,b）（c,d）=（a＋c，b＋d）
设
，若（1，2）（p，q）=（5，0），则（1，2）（p，q）=_____________。
三、解答题（本大题共6个小题共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （本题满分13分）
在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，已知
，
，
。
求：（1）
的值；
（2）△ABC中的最大内角。
16. （本题满分14分）
已知函数
（1）求函数f(x)在
上的最大值和最小值；
（2）过点P（2，－6）作曲线
的切线，求此切线的方程。
17. （本题满分14分）
如图，已知正三棱柱
的各条棱长都为a，P为
上的点。
（1）试确定
的值，使得PC⊥AB；
（2）若
，求二面角P—AC—B的大小；
（3）在（2）的条件下，求
到平面PAC的距离。
18. （本题满分13分）
一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”。某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜。请求该考生：
（1）得60分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数
的数学期望。
19. （本题满分13分）
双曲线C与椭圆
有相同的焦点，直线
为C的一条渐近线。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当
，且
时，求Q点的坐标。
20. （本题满分13分）
已知f(x)是定义在（0，
）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n
）满足
，且a、b（
）满足
。
（1）求f(1)；
（2）若f(2)=1，解不等式f(x)<2；
（3）求证：
。
北京市宣武区2006-2007学年度第二学期第二次质量检测
高三数学（理）参考答案 2007．5
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的。）
1. B 2. C 3. D 4. B
5. A 6. C 7. A 8. A
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分。）
9. 24 10.
，[
] 11.
，1
12. 
13. 15 14.
（2，0）
三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15. （本题满分13分）
解：（1）∵
∴
∵
∴
∵
∴
…………………………4分
∵
，且，
∴ac=6
∵
∴
∴
∵
∴
……………………8分
（2）不妨设
∵
∴
由余弦定理，得
∴△ABC的最大内角为
……………………13分
16. （本题满分14分）
解：（1）
当
时，
∴[－3，－1]，[1，
]为函数f(x)的单调增区间
当
时，
∴[－1，1]为函数f(x)的单调减区间
又∵
∴当
时，
当x=－1时，
………………7分
（2）设切点为Q（
），则所求切线方程为
由于切线过点P（2，－6）
∴
解得
所以切线方程为
即
……………………14分
17. （本题满分14分）
解法一：（1）当
时，PC⊥AB
取AB的中点D'，连结CD'、PD'
∵△ABC为正三角形 ∴CD'⊥AB
当P为A1B的中点时，PD'//A1A
∵A1A⊥底面ABC，∴PD'⊥底面ABC
∴PC⊥AB………………………………5分
（2）当时，过P作PD⊥AB于D
如图所示，则PD⊥底面ABC
过D作DE⊥AC于E，连结PE，则PE⊥AC
∴∠DEP为二面角P—AC—B的平面角
又∵PD//A1A ∴
∴
∴
又∵
，∴PD=
∴tan∠PED=
，∴∠PED=60°
即二面角P—AC—B的大小为60°……………………10分
（3）设C1到面PAC的距离为d，则
∵PD//A1A ∴PD//平面A1C ∴DE即为P点到平面A1C的距离
又
∴
即
解得
即C1到平面PAC的距离为
…………………………14分
解法二：以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示，则B（a，0，0），A1（0，0，a），C（
，
，0），设P（x，0，z）
（1）由
，得
即
，∴P为A1B的中点
即时，PC⊥AB……………………5分
（2）当时，由
，得（x，0，z－a）
即
设平面PAC的一个法向量
则
，即
即
取
，则
∴
又平面ABC的一个法向量为
∴
∴二面角P—AC—B的大小为180°－120°=60°………………10分
（3）设C1到平面PAC的距离为d
则
即C1到平面PAC的距离为……………………14分
18. （本题满分13分）
解：（1）设“有两道题可判断两个选项是错误的”选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误的”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C
∴
所以，得60分的概率为
……………………3分
（2）得40分的概率为
得45分的概率为
；
得50分的概率为
；
得55分的概率为
得45分或50分的可能性最大……………………9分
（3）
…………13分
19. （本题满分13分）
解：（1）设双曲线方程为
。由椭圆，求得两焦点为（－2，0），（2，0）
∴对于双曲线C：c=2，又为双曲线C的一条渐近线
∴
解得
∴双曲线C的方程为
………………5分
（2）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程：
，A（x1，y1），B（x2，y2）则Q（
，0）
∵
∴
∴
∵A（x1，y1）在双曲线C上，∴
∴
∴
同理有：
若
，则直线l过顶点，不合题意
∴
∴
是二次方程
的两根
∴
∴
，此时△>0 ∴
∴所求Q的坐标为（
，0）………………………………13分
解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程：，A（
），B（
），则Q（，0）
∵ ∴Q分
的比为
由定比分点坐标公式得：
即得
下同解法一……………………………………13分
解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程：，A（），B（），则Q（
）
∵
∴
∴
∴
又
∴
即
将
得：
∵
，否则l与渐近线平行
∴
∴
∴
∴Q（，0）……………………………………13分
解法四：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程：
∵ ∴
∴
同理
即
又由
消去y，得
当
时，则直线l与双曲线的渐近线平行，不合题意，
由韦达定理有：
代入（*）式得
∴所求Q点的坐标为（，0）……………………………………13分
20. （本题满分13分）
解：（1）令m=n=1，由，得
∴f(1)=0………………………………………………………………3分
（2）∵f(2)=1，∴
又f(x)在（0，）上单调递增
∴0<x<4 ∴f(x)<2的解集为（0，4）……………………7分
（3）∵f(1)=0，f(x)在（0，）上单调递增
∴
时，f(x)<0
时，f(x)>0
又
∴f(a)=f(b)或
∵0<a<b ∴
∴
∴ab=1 ∴0<a<1<b
又∵
，且b>1，
∴
，∴
∴
，考虑到0<a<1
∴
∴…………………………………………13分