枣庄市2007届高三模拟考试
理科数学试题(三)
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3． 考试结束、监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B）=P(A）+P（B）.
如果事件A、B相互独立，那么P（A+B）=P（A）·P（B）.
球的表面积公式
，其中
表示球的半径.
球的体积公式
，其中表示球的半径.
锥体的体积公式
，其中S表示底面积，
表示锥体的高.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.
1．设P、Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q=
如果
，则P⊙Q=（
）
A．
B．
C．[1，2] D．（2，+
）
2. 设向量
与
的夹角为
，=（2，1），3+=（5，4），则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007
人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
4. 设M是
m、n、p分别是
的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
5. 设曲线y=x2+1在其任一点（x，y）处的切线的斜率为g(x) ，则函数y=g(x)cosx的部分图
象可以为 （ ）
|
A． B． C． D．
6. 在等差数列
为一个确定的常数，则其前n项和
中，也为确定常数
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 
的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
8. P是双曲线
的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为（ ）
A．b B．a C． c-a D．c-b
9. “a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x－a）2+（y－b）2=2相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10. 给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是
第一个数是1，
第二数比第一个数大1，
第三个数比第二个数大2，
第四个数比第三个数大3，……
以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题
的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行
框②处应分别填入（ ）
A．i≤30?；p = p + i－1
B．i≤29?；p = p + i + 1
C．i≤31?；p = p + i
D．i≤30?；p = p + i
11. 已知正三棱锥V—ABC的正视图，俯视图如右图所
示，其中VA＝4，AC＝2
，则该三棱锥的侧视
图的面积为( )
A．9 B．6
C．3 D．
12.已知在平面直角坐标系中O（0，0），M（1，
），N（0，1），Q（2，3），动点P（x，y）满足
的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
| |
二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.
13. 定义—种运算如下：
=ad-bc，则复数
的共轭复数是
.
14. 观察等式：
，
和
,…，由此得出以下推广命题不正确的是
.
①
；
②
；
③
；
④
.
15. 甲、乙两人约定上午7:00至8:00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车
时刻分别为7:20，7:40，8:00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙
两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7时到8时的任何时刻到达车站是等可能的） .
16．给定下列结论：
①已知命题
：
；命题
:
则命题“
”是假命题；
②已知直线
：
，则⊥
的充要条件是
；
③若
，则
；
④圆
与直线
相交，所得弦长为2.
其中正确命题的序号为 （把你认为正确的命题序号都填上）.
三、解答题：本大题有6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知
是三角形
三内角，向量
，且
.
（Ⅰ）求角
；
（Ⅱ）若
，求
的值.
18．（本小题满分12分）有混在一起质地均匀且粗细相同的长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管附有不同的编号），现随意抽取4根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的4根首尾相接焊成笔直的一根.
（Ⅰ）求抽取的4根钢管中恰有2根长度相同的概率；
（Ⅱ）若用
表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），试求的概率分布和数学期望.
19.（本小题满分12分）
|
，M、N分别为AB、SB的中点.
（1）求证：AC⊥SB
（2）求二面角N—CM—B的正切值；
（3）求B的平面CMN的距离.
20.（本小题满分12分）
定义域为D的函数
和
，若对于任意的
总有
那么称可被替代（通常≠）.
（1）试找出一个可以替代函数
的函数，且≠；
（2）试判断函数
是否可被一次函数
替代，并说明理由.
21.（本小题满分12分）如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知AB=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持PA+PB的值不变.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）过D点的直线
与曲线C相交于不同的两个点M、N，且M在D、N之间,满足
，求
的取值范围；
（3）过D的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，求△OMN面积的最大值.
|
22.（本小题满分14分）
已知函数
的图象经过点A(2,1)和B（5，2），记
（Ⅰ）求函数的解析式以及数列
的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式
对一切
均成立的最大实数；
（Ⅲ）在数列中，对每一个k∈
，在
与
之间插入
个
，得到新数列
，设
是数列的前
项和，试问是否存在正整数
，使得
=2007成立.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
枣庄市2007届高三模拟考试
理科数学试题(三)参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）ADCCA BBBAD BC
二、填空题（每小题4分，共16分）13. -1-3i 14. ① 15.
16 ①③
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）∵，∴
，
∴
，
，
，…………………………………………………………3分
∵
，
∴
，∴
，
∴
………………………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵，
∴由正弦定理得
,
∵
，
∴
，
，………………………………………9分
即
…………………………………………………………………………………12分
18．解：（Ⅰ）抽取的4根钢管中恰有2根长度相同的概率为：
.…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）新焊接成钢管的长度的可能值有7种，最短的可能值为5m，最长的可能值为11m.
当
，
当
，
当
，
当
.………………………………………………8分
的分布列为：
|
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| P |
|
|
|
|
|
|
|
.………………………12分
19. 解：（1）取AC中点为D，∵
，
∴AC⊥平面SDB， ∴AC⊥SB；…………………………………………………………………………3分
（2）取DB中点为E
∵N为SB的中点，∴NE∥SD
又∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，SD在平面SAC内，
∴SD⊥平面ABC，∴NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，
∴NF⊥CM，
∴∠NFE为所求二面角N—CM—B的平面角.…………………………………………………………6分
在正三角形ABC中，设中线BD与CM交于G，
∵CM⊥MB，∴EF//MB，
又SA=SC=
在三角形NEF中，
所以二面角的正切值为
.…………………9分
（3）设B到平面CMN的距离为h，
，
. …………………………………………………12分
20.解：（1）由定义解得
，取
即可. …………………………………4分
（2）
，
令
，则
.
令
，…………………………………………………………………………………6分
当
上是减数函数；
当
，所以
在（4，6）上是增函数.
的极小值是
，…………………………………………………………9分
又
，
，
，
……………………………………………………………………………12分
21.解：（1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系.
∴由线C以原点为中心，A、B为焦点的椭圆，
设其长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
则
∴
∴曲线C的方程为：
………………………………………………………………2分
（2）（i）当与y轴重合时，
………………………………………………………………3分
（ii）当与y轴不重合时，设直线的方程为
，代入曲线C的方程并整理，得
设
则
|
由①得
………………………………………………………………………………………6分
又∵
M在D、N之间，故
∴
……………………………………7分
由
而
∴
∴
综上所述，
…………………………………………………………………………9分
（3）点O到直线MN的距离
弦MN的长
∴
，……………………………………………………10分
设
∵∴
当且仅当
时等号成立.此时
∴△OMN的面积有最大值为
…………………………………………………………………12分
22.解：（I）由已知，得
…………………………………………………2分
数列
的通项公式为
.……………………………………………………………4分
（II）由题意
对n∈
恒成立.
∵
，
,
随增大而增大.
∴的最小值为
.
∴≤
，即的最大值为.……………………………………………………9分
（Ⅲ）∵an=2n－1，∴在数列{bn}中，an及其前面所有项之和为
+
. …………………………11分
显然可得
又
在数列
中的项数为
，
在数列中的项数为1034,
且
不能被整除.
∴满足
的正整数不存在. ……………………………………………………14分