湖南省长沙市周南中学2007届高三第一次模拟考试
数 学 试 题（理）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
如果事件、相互独立，那么
·
·
如果事件在一次试验中发生的概率是
，那么它在
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
球的表面积公式
，其中
表示球的半径．
球的体积公式
，其中表示球的半径．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．计算
的结果为
（ ）
A . 
B. 
C. 
D. 
2．已知
的反函数为
,
,则
的最小值为
A．
B．
C．
D． 
3．关于直线
与平面
，有以下四个命题：
①若
且
，则
；②若
且
，则
；
③若
且，则；④若
且，则；
其中真命题的序号是 ( )
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
4．函数
对
都有
，若
，
，
则数列
的前n项和
的极限是( )。
A．
B．
C．
D．
5、把函数
的图象按向量
平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式是（ ）
A、
B、
C、
D、
6．已知
是R上的减函数，且
设
若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数t的取值范围（ ）
A、
B、
C、
D、
7．设
、
为曲线
： 
的焦点，是曲线
：
与的一个交点，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D． 
8．已知
，则方程
(a,b为常数且
）不相等的实数根共有
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
9．从数字1，2，3，4，5中,随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其中各位数
字之和不等于9的概率为
A、
B、
C、
D、
10．
若圆
上至少有三个不同的点到直线
的距离为
,则
的取值范围是
A．
B．
C．
D． 
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．函数f(x)＝
的定义域是
12. 已知
展开式中的常数项为1120，则这个展开式中各项的系数和为
13．若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 ．
14．已知实数
满足
，则
取值范围是
15．已知数列
是首项为1，公差为2的等差数列，将数列中的各项排成如右一个三角形数表：
记A（i，j）表示第i行从左至右的第j个数，例如，A（4，3） =
=17.
则A（10，2）= A（i，j）= .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止。设每位工人每次测试通过的概率依次为0.2，0.5，0.5。(1)求工人甲在这次上岗测试中参加考试次数
的分布列及通过测试的期望；(2)若有4位工人参加这次测试，求至少有一人不能上岗的概率。
17. (本小题满分12分)△
中,、、
对边分别为
,已知
(1)求
；
(2)若
为△外接圆劣弧
上的一点且
,求四边形
的面积.
18．(本小题满分12分)如图（1）在直角梯形
中，
∥
=2，
、
、
分别是
、
、的中点，现将
沿
折起，使平面
平面
（如图2）
（1）求二面角
的大小；
（2）在线段
上确定一点
，使
平面
，并给出证明过程.
19．（本小题满分12分）近几年，长沙市为改善城区交通投入巨资，交通状况有了一定的改善，但五一路仍是市中心交通最为拥堵的地区之一。为确保交通安全，规定在此地段内，车距
是车速
（千米/小时）的平方与车身长
（米）之积的正比例函数，且最小车距不得少于车身长的一半，现假定车速为50千米/小时，车距恰为车身长。
⑴ 试写出关于的解析式（其中为常数）；
⑵ 问应规定怎样的车速，才能使此地车流量
最大？
20．（本小题满分13分）设椭圆
的焦点分别为
，右准线
交
轴于点A，且
.
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过
、
分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、
M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值.
21．（本小题满分14分）已知函数
.
（1）求函数
的单调区间;
(2)证明:对任意的
,都有
;
(3)若
求证:
……+
周南中学2007届高三第一次模拟考试
数学参考解答（理）
1．D. 2．A．3．D．4．B．5、B、6．A、7．D． 8．C. 9．D、10．C．
11．
;12.6561 ;13．
．; 14．
; 15． 93；
16．（本小题满分12分）（1）的取值为1、2、3。
故工人甲在这次上岗测试参加考试次数的分布列
|
| 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
……………………6分
（2）每位工人通过测试的概率为
…………8分
每位工人不能通过测试的概率为
…………………………………10分
至少有一人不能通过测试的概率
……………12分
17.解: (1)由正弦定理得:
………… 2分
∵
,
∴
………… 3分
于是得
………… 6分
(2)∵
共圆,
∴
在△
中,由余弦定理可求
, …………9分
在△
中,由余弦定理得出
∴
,
∴
………… 12分
18.取
的中点
,连
、
，
∥
，
又平面 平面，且
，
平面
，又
平面，
由三垂线定理，得
，
就是二面角的平面角.
在
中，
，即二面角的大小为
. …… 6分
(2)
的中点时，有
平面.证明过程如下:
为的中点,
∥,又∥,∥,
从而、、、四点共面．
在
中，
为的中点，
，
又
平面，
，
，又
，
平面
，即平面. …………………………………12分
解法二:建立如图所示的空间直角坐标系
则
设平面
的法向量为
,则
,取
又平面
的法向量为
所以
即二面角的大小为.
(1)
设
则
又
,平面
点是线段的中点.
… ……… 12分
19、解：⑴ 由已知：
… … …………… 2分
∴ 
………………… 3分
当
时，
∴ 
………… 6分
⑵ 当
时，
∴ 
，
此时
千米/小时
………… 9分
当
时，
∴ 
………… 11分
故当千米/小时时，车流量最大。
………… 12分
20．解（Ⅰ）由题意，
， ∴
， ………… 2分
∵ ∴为A的中点 ………… 3分
∴
，
即 椭圆方程为
.
………… 5分
（Ⅱ）当直线DE与轴垂直时，
，
此时
，四边形
的面积为
.
同理当MN与轴垂直时，也有四边形的面积为.………… 7分
当直线DE，MN均与轴不垂直时，设
，代入椭圆方程，消去
得：
.
设
，
，则
.………… 8分
所以，
，
所以，
，
同理，
. .………… 10分
所以，四边形的面积
=
=
，
令
，得
因为
，
当
时，
，且S是以
为自变量的增函数，
所以
综上可知，
即四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为
..………13分
21. 解(1)
,
.……………1分
当
时,
在
上单调递增; .
……………2分
当
时，
在上单调递减； .……………3分
当
时，
单调递增；
……………4分
单调递减；
……………5分
（2）
①先证：当
时，
，
设
则
所以
在R上是减函数，故当时，
即
；
……………7分
又设
，所以
在R上是增函数，故当时，
，即
；
当时，，
……………8分
②若
时，则
由①知：
即
所以
综上所述：
……………10分（3）由
，得
，根据（2），有
……………11分
， ……………12分
，
所以不等式成立. ………………14分