福建省东山二中2007届高三第一次适应性测试

数学理科试题

一、选择题（共60分）

1、复数，则实数a的值是（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．－

2、中，若，则为　　 （　　）

A、锐角三角形　　 B、直角三角形　 C、钝角三角形　　 D、不能确定

3、如右图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BB₁=BC，P为C₁D₁上一点，则异面直线PB与B₁C所成角的大小（　　 ）

　　　 A．是45°　　　　　 B．是60°

　　　 C．是90°　　　　　 D．随P点的移动而变化

4、设函数内连续，则实数a值等于（　 ）

A．1　　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　  D．

5、关于函数，有下列命题

① 其最小正周期为；　　　 ② 其图像由个单位而得到；

③ 其表达式写成　④ 在为单调递增函数；

则其中假命题为（　 ）

A．①　　　　 B．②　　　　C．③　　　　　　　　　　　　　D．④

6、已知表示平面，m，n表示直线，则m//的一个充分而不必要条件是（　）

A．　B．　C．　　　　　　　　　　　　 D．

7、若函数内为增函数，则实数a的取值范围（　　）

A．　　　　B．　　  C．　　　　D．

8、已知双曲线的左焦点为F₁，左、右顶点为A₁、A₂，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF₁，A₁A₂为直径的两个圆的位置关系为（　）

　　　 A．相交　　　B．相切　　　C．相离　　　D．以上情况都有可能

9、如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界）. 若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足(　　)

　　(A) .　　　　　　　　 (B) .

　　(C) .　　　　　　　　 (D) .

10、在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目. 若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有（　）

　  A．120人.　　　 B．144人　　C．240人　　　 D．360人

11、在平面直角坐标系中，已知曲线C：（θ是参数，且），那么曲线C关于直线y＝x对称的曲线是　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

12、若不等式对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

　　　 A．　　　 B．　　 　　 C． 　　　D．

二、填空题（共16分）

13、已知数列满足记，

　 则=　　.

14、已知函数，则=　　　　  .

15、已知则点所在区域面积是　

16、点P(3，1)在椭圆 的光线经直线y=－2反射后通过椭圆的右焦点，则这个椭椭圆的离心率为　　　　　

三、解答题（共74分）

17、(本小题12分) 已知函数

 （1）当时，求的单调递增区间；

 （2）当，且时，的值域是，求a、b的值.

18、(本小题12分)

旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.

（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率

（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.

（3）求选择甲线路旅游团数的期望.

19、(本小题12分) 如图，直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=0，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中点.

（1）求二面角O₁－BC－D的大小；

（2）求点E到平面O₁BC的距离　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

20、(本小题12分)

在平面直角坐标系中，已知、、，满足向量

与向量共线，且点都在斜率为6的同一条直线上．

（1）试用与n来表示；

（2）设，且12＜a≤15，求数列中的最小值的项．

21、（本小题12分）已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点（1, ）.　　

(1)求双曲线的方程;

(2)设直线:与双曲线C交于A、B两点, 试问:

① 为何值时

② 是否存在实数, 使A、B两点关于直线对称(为常数), 若存在, 求出的值; 若不存在, 请说明理由.

22、.(本小题14分) 设函数f（x）=在[1+，∞上为增函数.　

（1）求正实数a的取值范围.

（2）若a=1，求征：

（n∈N*且n≥2）

参考答案

一、选择题（60分）

BCCA　　BDAB　　BAAA

二、填空题（16分）

13、

14、0

15、1

16、　

三、解答题（74分）

17、解（1）,

　　 ∴递增区间为----------------------6分

　（2）

　　而，

　　  故　　--------------- 12分

18、解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P₁=…………3分

　　　 （2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P₂=……6分

　　　 （3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3

　　　 P（ξ=0）=　　　 P（ξ=1）=　　

　　　 P（ξ=2）= 　　 P（ξ=3）=

ξ	0	1	2	3
P

　　　∴ξ的分布列为：

　　　

　　　∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=………………12分

19、

解法一

（1）过O作OF⊥BC于F，连接O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，

∴∠O₁FO是二面角O₁－BC－D的平面角，

∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=.

在Rt△O₁OF在，tan∠O₁FO=

∴∠O₁FO=60° 即二面角O₁—BC—D为60°

（2）在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位线，∴OE∥O₁C

∴OE∥O₁BC，∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交线O₁F.

　 过O作OH⊥O₁F于H，则OH是点O到面O₁BC的距离，

　 ∴OH=∴点E到面O₁BC的距离等于

解法二：（1）∵OO₁⊥平面AC，

∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，又OA⊥OB，

建立如图所示的空间直角坐标系（如图）

∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，

则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），O₁（0，0，3）

设平面O₁BC的法向量为=（x，y，z），

则⊥，⊥，

∴，则z=2，则x=－，y=3，

∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）

∴cos<，>=，

设O₁－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°.

故二面角O₁－BC－D为60°.　　　　　　　　

（2）设点E到平面O₁BC的距离为d，

 ∵E是O₁A的中点，∴=（－，0，），

则d=∴点E到面O₁BC的距离等于。

20、解：（1）点都在斜率为6的同一条直线上，

，即，

于是数列是等差数列，故．………………3分

，，又与共线，

　　 …………4分

　　　　　

　　　　 　　　．　  ………6分

当n＝1时，上式也成立．

所以a_n．　……………7分

（2）把代入上式，

得

　 12＜a≤15，，

　 当n=4时，取最小值， 最小值为a₄=18－2a．　 …………12分

21、解: (1) 由题意设双曲线方程为,把(1,)代入得（*）

又的焦点是（，0），故双曲线的（2分）与（*）

联立，消去可得，.

∴ ，（不合题意舍去）………（3分）

于是，∴ 双曲线方程为………（4分）

(2) 由消去得（*），当

即（）时，与C有两个交点A、B　　………（5分）

① 设A（，），B（，），因，故………（6分）

即，由（*）知，，代入可得

………（7分）

 化简得

∴ ，检验符合条件，故当时，………（8分）

② 若存在实数满足条件，则必须………（10分）

 由（2）、（3）得………（4）

把代入（4）得　　　　　　　　　　  ………（11分）

这与（1）的矛盾，故不存在实数满足条件.　　　　  ………（12分）

22、解:（1）由已知： = ………………………2分

　 依题意得：≥0对x∈[1，+∞恒成立………………4分

　 ∴ax－1≥0对x∈[1，+∞恒成立　  ∴a－1≥0即：a≥1……5分

　（2）∵a=1　 ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞上为增函数，

　　 ∴n≥2时：f（）=　

　 即：…7分　

　　　 ∴……………………9分

设g（x）=lnx－x　x∈[1，+∞， 则对恒成立，

∴g′（x）在[1+∞为减函数…………12分

∴n≥2时：g（）=ln－<g（1）=－1<0　即：ln<=1+（n≥2）

∴

综上所证：（n∈N*且≥2）成立. ……14分