试卷类型：A
广东省佛山市2007年普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页. 满分150分. 考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的表格内;答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设函数
的定义域为A，函数
的值域为B，则
( )．
A．
B．
C．
D．
2．等差数列
中，
，则
( )．
A．
B．
C．
D．
3．从一个信箱中任取一封信，记一封信的重量为
（单位：克），如果
，
，则
（ ）。
A．
B．
C．
D．
4．已知
、
满足约束条件
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
则
( )．
A．
B.
C.
D.
6．已知
是两个不同平面，
是两条不同直线。给出下列命题：
①若
∥
②若∥
∥
③若
∥
④若
∥
其中不正确的是（ ）
A．①② B． ②④ C．①③ D．②③④
7．函数
部分图象如右图，则函数
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.设
则（ ）
A．
B．
C．
D．
9.过点
的直线与抛物线
交于相异两点
、
，
为抛物线顶点，则
（ ）
A． 0 B．1 C．3 D．
10．定义在R上可导的函数
，满足
，且函数
是偶函数，当
时，有（ ）
A．
B．
C．
D．
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，其中11—13题是必做题，14—15题是选做题.每小题5分，满分20分）
11．已知复数
，则
_____，
.
12．为考察药物A预防B疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果试验的列联表：
| 患者 | 未患者 | 合计 | |
| 服用药 | 10 | 45 | 55 |
| 没服用药 | 20 | 30 | 50 |
| 合计 | 30 | 75 | 105 |
经计算，随机变量
，请利用下表和独立性检验的思想方法，估计有
（用百分数表示）的把握认为“药物A与可预防疾病B有关系”。
|
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
|
| 0.46 | 0.71 | 1.32 | 2.07 | 2.71 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
13．如果一个面体有个面是直角三角形，那么我们称这个面体的“直度”为
（例如一个五面体共有三个面是直角三角形，我们称这个五面体的“直度”为
）。那么所有的四面体“直度”的集合为
。
▲ 选做题：在下面二道小题中选做一题，二题都选只计算前一题的得分.
14．如图，圆的切线
的长为
，
，则
的长为
15．在极坐标系中，过点
且与极轴垂直的直线
的
极坐标方程是_______.
三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）
在三角形ABC中，
，
的值和三角形
ABC的面积。
17、（本题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
，点D是AB的中点。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
∥平面
。
18.（本小题满分14分）
设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。
一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为，盈利额为。
（Ⅰ）求与之间的函数关系；
（Ⅱ）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）；
（Ⅲ）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？
注：（Ⅰ）利润=门票收入—固定成本—变动成本；
（Ⅱ）可选用数据：
。
19．（本小题满分14分）
已知函数
和
(a、
为常数)的图象在
处有公共切线.
(Ⅰ) 求a的值；
(Ⅱ) 求函数
的极大值和极小值.
（Ⅲ）若关于的方程
有且只有3个不同的实数解，求的取值范围。
20．（本小题满分14分）
设A、B分别是直线
上的两个动点，并且
，动点P满足
。
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若经过点
的直线与轨迹C交于不同的两点
、
，且线段
恰被直线
平分，求直线的方程。
21．（本小题满分14分）
蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
表示第
幅图的蜂巢总数.
(Ⅰ) 试给出
的值，并求的表达式（不要求证明）；
(Ⅱ) 证明：
.
广东省佛山市2007年普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题参考答案和评分标准（文科）
一、选择题（每题5分，共50分）
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | B | C | B | C | D | B | C | D | D | D |
二、填空题（每题5分，共20分）
11．
,
12．
％ 13．
14．
15．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明和演算步骤）
16. 解：由得
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
（或
或利用移项平方消“元”——化同名函数）
又在三角形ABC中，
∴
。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
7分
∴
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
9分
。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
17.解：（Ⅰ）证明：∵
∴
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
1分
又在直三棱柱
中，有
， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
∴
平面
． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
（Ⅱ）证明：设
与
交于点P，连结DP。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
易知P是的中点，又D是AB的中点。∴∥DP。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
∵
平面，
平面，∴∥平面． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
18. 解：（Ⅰ）根据题意，当购票人数不多于100时，可设与之间的函数关系为
。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，
∴
，解得
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅———4分
∴
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅱ）框图如下：┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
（Ⅲ）设 每张门票价格提高为元，根据题意，得
------------------------------------------------------11分
∴
。-----------------------------------------------------------------------------------13分
从而，每张门票最少要37元。-------------------------------------------------------------------------14分
19．解：（Ⅰ）
,
，根据题意，得
解得
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
（Ⅱ）
。
令
，得
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
∵
时，
，
单调递增；
时，
，单调递减；
时，，单调递增。∴的极大值为
，的极小值为
.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
10分
(Ⅲ)根据题意，的图象应与轴有三个公共点。┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 11分
由（Ⅱ）的结论及在
时
，在
时
，知方程有且只有3个不同的实数解的充要条件为
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分
解得
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
14分
20．解：（Ⅰ）设
，因为A、B分别为直线上的点，故可设
。∵，∴
∴
------------------------------------------------4分
又，∴
。------------------------5分
∴
，即曲线C的方程为
。--------------------7分
(Ⅱ)因为直线与直线相交，不可能垂直轴，
故可设直线的方程为：
。--------------------------------8分
由
消去，得
，整理得
。---------------------------------------------10分
方程有两个不相等的实数根，
----------------------11分
∵线段恰被直线平分，
∴
。-----------------------------------12分
解得
。∴直线的方程为
。----------------------------14分
（借助于形之间的几何特征进行推导，可相应给分）
21. 解： (Ⅰ) 
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
(Ⅱ)由于
因此，当
时，有
所以
.
又
，所以
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
（注：直接给出结果也给分）
（Ⅲ）当
时，
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
所以
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分