试卷类型：A
广东省佛山市2007年普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页. 满分150分. 考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的表格内;答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设函数
的定义域为A，函数
的定义域为B，则
( )．
A．
B．
C．
D．
2．等差数列
中，
，则
( )．
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
的值为( )．
A．
B．
C．
D．
4．已知平面
和两条不同直线
，则
的一个必要条件是(
)．
A．
B．
C．
D．与成等角
5．如图，在一个长为
，宽为2的矩形
内，曲线
与
轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是( )．
A．
B. 
C. 
D.
6．2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过
元的免征个人工资、薪金所得税，超过元部分需征税．设全月总收入金额为元，前三级税率如下左表所示：
|
|
元部分
元部分
元部分
当工资薪金所得不超过
元，计算个人所得税的一个算法框图如右图. 则输出①、输出②分别为( )．
A．
B．
C． 
D．
7．已知
(其中
)，当
时，
的值为( )．
A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定
8．定义：复数
是
（
、
）的转置复数，记为
；复数
是（、）的共轭复数，记为
.给出下列三个命题：
①
； ② 
； ③
；
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，其中9—12题是必做题，13—15题是选做题.每小题5分，满分30分）
9．已知向量
，且
，则
_____.
10．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，
以
表示取得红球的个数，则
，
_____.
11．已知动点P满足
（其中
、
），当点P的纵坐标是
时，点P到坐标原点的距离是_________.
12．假设佛山五区行政区划图如图，测绘局想要给地图着色，要求相邻区域颜色不同.现有4种颜色可供选择，那么共有不同的着色方案为 种.（用数字作答）
▲ 选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分.
13．如图，圆的切线
的长为
，
，则
的长为__________.
14．在极坐标系中，过点
且与极轴垂
直的直线
的极坐标方程是_______.
15. 已知
为正数，且满足
，则
的最大值是_______________.
三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）
已知函数
和
(a为常数)的图象在
处切线平行.
(Ⅰ) 求a的值；
(Ⅱ) 求函数
的极大值和极小值.
17、（本题满分12分）
如图，
是佛山市一环东线的一段，其中
、
、
分别是林上路、佛陈路、花卉大道出口，经测量陈村花卉世界
位于点的北偏东
方向
处，位于点的正北方向，位于点的北偏西
方向上，并且
．
(Ⅰ) 求佛陈路出口与花卉世界之间的距离；（精确到0.1km）
(Ⅱ) 求花卉大道出口与花卉世界之间的距离．（精确到0.1km）
(参考数据：
，
，
，
，
， 
，
)
18.（本小题满分14分）
如图，四棱锥
的底面是边长为
的正方形，
，
,
为
中点，
.
(Ⅰ) 求证：⊥平面
；
(Ⅱ) 求二面角
的正切值；
(Ⅲ) 求证：
平面
.
19．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系
中，已知抛物线
，直线
.、
为的两切线，切点为
.
(Ⅰ) 求证：“若
在上，则
”是真命题；
(Ⅱ) 写出(Ⅰ)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
20．（本小题满分14分）
蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
表示第
幅图的蜂巢总数.
(Ⅰ) 试给出
的值，并求的表达式（不要求证明）；
(Ⅱ) 证明：
.
21．（本小题满分14分）
已知集合
是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数
，使得对定义域内的任意两个不同的实数
，均有
成立.
(Ⅰ) 当
R时，
是否属于？说明理由；
(Ⅱ) 当
时，函数
属于，求常数的取值范围；
(Ⅲ) 现有函数
，是否存在函数
，使得下列条件同时成立：
①函数
；
②方程
的根
也是方程
的根，且
；
③方程
在区间
上有且仅有一解．
若存在，求出满足条件的和
；若不存在，说明理由.
广东省佛山市2007年普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题参考答案和评分标准（理科）
一、选择题（每题5分，共40分）
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | B | C | D | D | A | D | B | C |
二、填空题（每题5分，共30分）
9．
10．
，
11．
12．
13．
14．
15. 
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16. 解：（Ⅰ）
,
，根据题意，得
解得
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
4分
（Ⅱ）
(
)。
令
，得
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
7分
∵时，
，
单调递增；
时，
，单调递减；
时，，单调递增。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 10分
∴的极大值为
，
的极小值为
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
12分
17.解：（Ⅰ）设
，则由余弦定理
， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分
即
，解得
， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
舍去．所以
.
故佛陈路出口B与花卉世界之间的距离约为
． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
（Ⅱ）在DABD中，由正弦定理得
， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分
所以
.
在DCBD中，
， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 10分
由正弦定理得，
.
花卉大道出口与花卉世界之间的距离约为． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 12分
18. 解：（Ⅰ）∵
，
∴
，即
.
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
又，
，
∴⊥平面. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）方法一：过
作
交
于
，
从而
平面，且
，
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
过作
交于
，由于
，所以
，且
，
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
连
，根据三垂线定理可得，
，
从而
为二面角的平面角，
不妨设为
，则
所以二面角的正切值为
.
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
方法二：以为原点，建立如图所示的坐标系.
则
.
由于
，所以
,即
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
易知
为平面
的法向量.
设平面的法向量为
，则
即
，
令
则
，即
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
二面角的平面角为，则
，所以
┅┅┅9分
（Ⅲ）方法一：如图，连接
，交于
，取
中点
，连
.
在△
中，
分别为
中点，则
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
在△
中，
分别为
中点，则
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
∴平面
平面
，又
平面
，所以平面. ┅┅┅┅┅14分
方法二：如图，连接，交于，取中点，连
交
于
，连
.
在△中，分别为中点，则. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
在△
中，
分别为
中点，则为中点.
在△
中，
分别为
中点，则
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
又
平面，所以平面. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分
方法三、以为原点，取
为基底，建立空间直角坐标系.
则
，
∴
又E为PC的中点，所以
.
又，
于是
.
由平面向量共面定理以及 BE不在平面AFC内可得平面. ┅┅┅┅┅┅┅┅14分
19．解：（Ⅰ）证明：由得
，对其求导得
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分
设
，则直线
的斜率分别为
由点斜式得
① ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分
②， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分
由①②可得点
，因为在上，所以
， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分
所以
，所以. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 9分
（Ⅱ）（Ⅰ）中命题的逆命题为：若，则在直线上. 为真命题. ┅┅ 11分
事实上，由原命题可知，设，且
①
②，
由①②可得点， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 12分
又，
所以，即
，从而点在上. ┅┅┅┅┅ 14分
20. 解： (Ⅰ) 
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
(Ⅱ)由于
因此，当
时，有
所以
.
又
，所以
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
（注：直接给出结果也给分）
（Ⅲ）当
时，
. ┅┅┅┅┅11分
所以
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分
21．解：（Ⅰ）属于.
事实上，对任意
，
，故可取常数
满足题意，因此
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
（Ⅱ）
在
为增函数
对任意
有
（当
时取到），所以
，此即为所求.
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅲ）存在. 事实上，由（Ⅰ）可知，
属于.
是的根 
，
又
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
方法一、若符合题意，则
也符合题意，故以下仅考虑
的情形。
设
，
①若
，则
由
，且
，
所以，在
中另有一根，矛盾. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
②若
，则
，
所以在
中另有一根，矛盾. 
. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
以下证明，对任意
符合题意.
（ⅰ）当
时，由
图象在连接两点
的线段的上方知
.
（ⅱ）当
时，
.
（ⅲ）当
时，
.
从而
有且仅有一个解
，
在
满足题意.
综上所述：
为所求. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分
方法二、要使函数
在区间
有且只有一解，须且只需
，也即
，也即为所求.