高三数学专题——数列-高中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

第二讲　　数列

l　　　　 高考风向标

数列的概念．等差数列及其通项公式、前n项和公式；等比数列及其通项公式、前n项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．

l　　　　 典型题选讲

例１　若数列{a_n}满足若，则的值为　　　　（　）

A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

　　　讲解　逐步计算，可得

这说明数列{a_n}是周期数列，而, 所以．应选B．

　　　点评　分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．

例２　在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列，则a_m, a_m+2, a_m+1成等差数列.

　（１）写出这个命题的逆命题；

（２）判断逆命题是否为真，并给出证明.

讲解　（１）逆命题：在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m, a_m+2, a_m+1成等差数列，则 S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列.

　（２）设{a_n}的首项为a₁，公比为q

　　　　由已知得2a_m+2= a_m + a_m+1　　 ∴2a₁q^m+1=a₁+a₁q^m

　　　　∵a₁≠0　q≠0 ,

∴2q²－q－1=0 ,

　∴q=1或q=－.

当q=1时，

∵S_m=ma₁， S_m+2= (m+2)a₁，S_m+1= (m+1)a₁，

∴S_m+S_m+1≠2 S_m+2,

　∴S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列.

当q=－时,

2 S_m+2=,

∴S_m+S_m+1=2 S_m+2 ,　　　　　

∴S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列．

综上得：当公比q=1时，逆命题为假；

　　　　当公比q≠1时，逆命题为真．

点评对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．

例３　设数列{a_n}前n的项和为 S_n，且其中m为常数，

　（1）求证：{a_n}是等比数列；

　（2）若数列{a_n}的公比满足q=f(m)且，为等差数列，并求．

讲解（1）由，得

两式相减，得

是等比数列．

点评　为了求数列的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．

例４　设数列的前n项和为S_n，若是首项为S₁各项均为正数且公比为q的等比数列.

　　（１）求数列的通项公式（用S₁和q表示）；

　　（２）试比较的大小，并证明你的结论.

　　　讲解　（１）∵是各项均为正数的等比数列，

∴．

当n=1时，a₁=S₁；　

当．

∴

（２）当n=1时，

∴．

∵

①当q=1时，

②当

③当

综上以上，我们可知：当n=1时，．当

若　若

点评　数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到与之间的关系式：

例５　已知数列满足>0，且对一切n∈N*，有，

(1) 求证：对一切n∈N*，有；

(2) 求数列的通项公式；

(3) 求证：．

讲解 (1)　由　　　　　 ①

得　　　　　　　　　　　　 ②

②-①得　　　　=(S_n₊₁+S_n)(S_n₊₁-S_n)=(2 S_n+a_n₊₁) a_n₊₁

∵ a_n₊₁ >0，　

∴ ．　

(2)　　　由，得

(n≥2)，

两式相减，得

(a_n₊₁+ a_n)( a_n₊₁ - a_n)= a_n₊₁+ a_n，

∵a_n₊₁+ a_n >0，

∴a_n₊₁ - a_n =1．(n≥2)

当n=1，2时易得，a₁=1，a₂=2，∴a_n₊₁ - a_n =1(n≥1) ．

从而{ a_n}是等差数列，其首项为a₁=1，公差d=1，故a_n=n ．

(3)　　

　　点评　关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．

例6　如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．

（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式；

（2）求粒子从原点运动到点时所需的时间；

（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．

讲解　(1) 由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有

…　　　　　　　　　　　　　…　　　　　　　

　∴＝,

．

即.　　　　　　　　　　　　　　　

（2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间再加（44－16）＝28秒，所以秒．

（3）由2004，解得，取最大得n=44,

经计算，得＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．

点评　从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．

例７　已知数列的前项和满足.

（1）写出数列的前三项；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对任意的整数，有 .

讲解　（１）为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．

　由

（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的．事实上

当时，有

即有　

从而　

　……　

接下来，逐步迭代就有

经验证a₁也满足上式，故知

其实，将关系式和课本习题作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对的两边同除以，便得

　　　　　　　　　．

令就有

，

于是　　　　，

这说明数列是等比数列，公比　首项，从而，得

　　　　　，

即　　　　，

　　　故有

（３）由通项公式得

当且n为奇数时，　

当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，可以转化为上面的情景

故任意整数m>4，有

点评　本小题２００４年全国（旧教材版）高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．

l　　　　 针对性演练

１　某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意度为，则此人应选（　　）

(A)　1楼　　　　　　　 (B) 2楼　　　　 (C)　3楼　　　　　　 (D)　 4楼

2.　若等比数列的各项均为正数，前项之和为，前项之积为，前项倒数之和为，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　)

（A）=　　　（B）＞　　　　（C）　（D）＞

3.　2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死＂禽流感＂病毒N的同时能够自身复制．已知１个细菌M可以杀死１个病毒N，并且生成２个细菌M，那么１个细菌M和2048个＂禽流感＂病毒N最多可生成细菌M的数值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

（A）1024　　　　（B）2048　　　（C） 2049　　　（D）无法确定

4.　设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2，，，……，的“理想数”为