绝密★启用前 试卷类型：A
广东省深圳市2007年高三年级第二次调研考试
数学（文科）
2007．5
本试卷分选择题和非选择题（含选做题）两部分，共6页，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1． 答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的重重信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。
3． 百选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4． 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡与试卷一并交回。
参考公式：
如果说事件A、B互斥，那么
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．设集合
A {2} B {2，3} C {3} D {1，3}
2．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生500人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取120人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为
A 40 B 48 C 50 D 80
3．已知数列
的前
项和
，则
等于
A 
B
C 
D 
4．已知命题
：函数
定义域为
；命题
：若
，则函数
上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是
A 命题
为真
B 命题
为假
C 命题
为假
D 命题
为假
5．已知圆
被直线
所截得的弦长为
，则实数
的值为
A 0和4 B 1 或3 C —2或6 D —1或3
6．根据表格中的数据，可以断定函数
的一个零点所在的区间是
|
| —1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0.37 | 1 | 2.72 | 7.39 | 20.09 |
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
A (—1，0) B （0，1） C （1，2） D （2，3）
7．已知双曲线
的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为
A 
B
C
D
8． 从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数， 则这个两位数大于20的概率为
A
B 
C 
D 
9．函数
和
，在区间[0，1]上，函数
单调递增，则有
A
B 
C
D 
10．把正奇数数列
的各项从小到大依次排成如下三角形状数表：
|
记
表示该表中第s行的第t个数，则表中的奇数2007对应于
A 
B 
C 
D 
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．设目标函数
，其中变量
和
满足条件：
，则
的最小值为______________.
12．阅读流程图填空：
（1）最后一次输出的
=
；
（2）一共输出的个数为
。
13．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为
，则
若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中，试写出相应命题形式：
__________________________________________________________________ .
▲ 选做题：在下面两道小题中选做一题，两道都选的只计第14题的得分
14．在极坐标系中，极点到直线
的距离等于
。
15．如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= 。
三、解答题：本大题6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程。
16．（本小题满分12分）
已知
，设
。
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当
时，求函数的最大值，并指出此时的值。
17．（本小题满分12分）
如图（1），△
是等腰直角三角形，
E、F分别为AC、AB的中点，将△AEF沿EF折起，使
在平面BCEF上的射影O恰好为EC的中点，得到图（2）。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积。
18．（本小题满分14分）
设等比数列的首项
，前
成等差数列。
（Ⅰ）求的公比；
（Ⅱ）用
表示的前
、
、
的大小。
19．（本小题满分14分）
已知函数
。
（Ⅰ）若函数图象上点
处的切线方程
；
（Ⅱ）若函数在（1，2）内是增函数，求的取值范围。
20．（本小题满分14分）
如图，已知点C（—2，0），直线
交于点A，动点P到直线
的距离为
且
。
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线
交轨迹于M、N两点，且
，求直线的方程。
21．（本小题满分14分）
已知函数
，
。
（Ⅰ）当
时，若
上单调递减，求的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有整数对
：存在
，使得
的最大值，
的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）中的条件的整数对，试构造一个定义在
且 
上的函数
：使
，且当
时，
。
广东省深圳市2007年高三年级第二次调研考试
数学（文科）答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | C | A | D | D | C | B | A | A | A |
二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分；第14、15两小题中选做一
题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．
11． 3 ． 12．（Ⅰ） 57 ； （Ⅱ） 8 ．
13．长方体
中，对角线
与棱
所成的角分别为
，则
，或是
。
或是：长方体
中，对角线与平面
所成的
角分别为
，则
，或是
．
14．．
15．
．
三、解答题：本大题满分80分．
16．（本小题满分12分）
已知
，设
．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当
，
时，求函数的最大值，并指出此时的值．
解：（Ⅰ）
= 
…………2分
= 
= 
……………………………4分
= 
=
……………………………6分
∴的最小正周期
．
………………………………7分
（Ⅱ）∵ 
，
∴
，
…………9分
∴当
，即=
时，有最大值．
…………12分
17．（本小题满分12分）
如图（1），
是等腰直角三角形，
，
、
分别为
、
的中点，将
沿
折起， 使
在平面
上的射影
恰为
的中点，得到图（2）．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积．
图（1） 图（2）
（Ⅰ）证法一：在中，是等腰直角的中位线，
……………………………1分
在四棱锥
中，
，
，
……………2分
平面
，
……5分
又
平面, 
…………7分
证法二：同证法一
…………2分
……………………4分
平面，
………5分
又平面, ……………………7分
（Ⅱ）在直角梯形
中，
,
……8分
又
垂直平分，
……10分
三棱锥的体积为：
………12分
18．（本小题满分14分）
设等比数列
的首项，前n项和为
，且
成等差数列．
（Ⅰ）求的公比；
（Ⅱ）用
表示的前项之积，即
，试比较
、
、
的大小．
解：（Ⅰ）解法一：
，
，
由已知
，
…………………………4分
得：
，
， 
的公比
.
…………………………8分
解法二：由已知，
…………………………2分
当
时，
，
，
，
则
，
与为等比数列矛盾； ………4分
当
时，则
，
化简得：
，
，
，
………8分
（Ⅱ）
，则有：
………………………11分
………………………13分
………………………14分
19．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若函数f（x）图象上点
处的切线方程为
，求
的值；
（Ⅱ）若函数在
内是增函数，求的取值范围．
解：（Ⅰ）∵
∴
………2分
则过P（1，）的切线斜率为k=
.
………3分
又∵切线方程为∴
=
，即
， …………4分
∴
…………5分
又∵P（1，）在f（x）的图象上，∴ 
. ……………7分
（Ⅱ）解法一：函数在
内是增函数，
∴
对于一切
恒成立， ………9分
即
，∴
，
……………11分
在
上单调递增，∴
，
.
………14分
解法二：函数在内是增函数
∴对于一切恒成立，……………9分
……………11分
对于一切恒成立的充要条件是
，
.
……………14分
20．（本小题满分14分）
如图，已知点
，直线
与轴交于点
，动点
到直线的距离为
，且．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交轨迹于
、
两点，且
，求直线的方程．
解：（Ⅰ）如图，设
，
，
……3分
平方整理得：
，
点的轨迹方程为
.
………5分
（Ⅱ）如图，
，设
联立
即
……………7分
，化简得：
…………①
设
，则
，……9分
，又，
，
即
，
…………………11分
化简得：
符合①
…………………13分
直线的方程是：
或
…………………14分
21．（本小题满分14分）
已知函数
，
，
．
（Ⅰ）当时，若
在
上单调递减，求
的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有整数对
：存在，使得
是的最大值，
是
的最小值；
（Ⅲ）对满足（Ⅱ）中的条件的整数对，试构造一个定义在
且
上的函数
：使
，且当
时，
．
解：（Ⅰ）当时，
，
……………………………1分
若
，
，则在上单调递减，符合题意．……
…2分
故
，要使在上单调递减，
必须满足
，∴
．综上所述，的取值范围是
………4分
（Ⅱ）若，
，则无最大值，
故，∴为二次函数，
…………………5分
要使有最大值，必须满足
，即
且
，
此时，
时，有最大值．
…………………7分
又取最小值时，
，
…………………8分
依题意，有
，则
，
∵且，∴
，得
，此时
或
．
∴满足条件的整数对是
．
…………………10分
（Ⅲ）当整数对是时，
，
是以2为周期的周期函数， …………………11分
又当时，,构造如下：当
，则，
，
故
…………………14分