市北中学08届高三第一学期期中数学（理科）测试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
姓名___________班级_________学号_________得分__________
| 题 号 | 一 | 二 | 三 | 总 分 | |||||
| 1—11 | 12—15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | ||
| 得 分 | |||||||||
|
一．填空题 (本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接
填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．已知集合
，
，则
_____________.
2．设
则
的值等于______________.
3．同时具有性质：①最小正周期为2p；②图象关于直线
对称的一个函数是___________.
4．已知函数
是偶函数，
是奇函数，它们的
定义域是
，且它们在
上的图象如图所示，
则不等式
的解集是
.
5．在△ABC中，BC=1，
，当△ABC的面积等于
时，
.
6．f(x)是定义域为R，最小正周期为
的函数，若
，则
的值等于___________
7．函数
的图象恒过定点
，若点在一次函数
的图象上，其中
，则
的最小值为
．
8.已知二次函数
，若在区间[0，1]内至少存在一个实数
，使
，则实数
的取值范围是_____________.
9．定义在
上的函数
，给出下列性质：①
是增函数；
②是减函数；③有最大值； ④有最小值。其中正确的命题是__________.
10．已知函数
在（－∞，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是________________.
11．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间
（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为
（
为常数），如右图所示。根据图中提供的信息，回答下列问题：若当空气中每立方米的含药量降低到
毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
|
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错一律得零分．
12． ，
是定义在
上的函数，
，则“，均为偶函数”是“
为偶函数”的……………………………………………………..（ ）
A．充要条件 B． 必要而不充分的条件
C．充分而不必要的条件 D．既不充分也不必要的条件
13．在三角形ABC中，若
则此三角形必是………………（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
14．函数
的反函数是…………………………………………（ ）
Ａ. 
Ｂ. 
Ｃ. 
D. 
15．给出下列三个等式：
，
， 
，下列函数中，对于定义域中任意
，不满足其中任何一个等式的是……………（ ）
A．
B．
C．
D．
|
16． (本题满分12分)
|
17． (本题满分12分)
已知函数
（1）求函数的表达式； （2）若
，求
的取值范围.
|
在
中，已知内角
，边
．设内角
，
周长为．
（1）求函数
的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
|
运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米, 按交
通法规限制
(单位: 千米/小时).
假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油
升, 司机的工资是每小时14元.
(1) 求这次行车总费用关于的表达式；
(2) 当为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值.
(精确到小数点后两位)
|
20． (本题满分18分)
设函数
，其中m为常数且
.
（1）解关于的不等式
；
（2）试探求存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.
|
21． (本题满分20分)
给出定义：若
（其中
为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作
，即 
. 在此基础上有函数
.
（1）求
的值；
（2）对于函数，现给出如下一些判断：
①
函数是偶函数；
②
函数是周期函数；
③
函数在区间
上单调递增；
④
函数的图像关于直线
对称；
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明；
（3）若
，试求方程
的所有解的和.
市北中学08届高三第一学期期中测试卷（理科）
参考答案与评分标准
1．
； 2．
； 3．y=sin(x+
)等； 4．
； 5．
；
6．
； 7．8； 8.（1，+∞）； 9．① ③； 10．
； 11．0.6
12．Ｃ； 13．A； 14．D； 15．B
16．
①
7分
②
综上,
12分
17．已知函数
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
18．在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
解：（1）的内角和
，由
得
．…（2分）
应用正弦定理，知
，………………………………………..（2分）
．………………………………………………（2分）
因为
，
所以
，…………………………（2分）
（2）因为
…………………………（2分）
，………………………（2分）
所以，当
，即
时，取得最大值
．…………………………（2分）
19．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米, 按交通法规限制
(单位: 千米/小时).
假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油
升, 司机的工资是每小时14元.
(1) 求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2) 当x为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值.
(精确到小数点后两位)
解: (1) 设行车所用时间为
………………………………………(1分)
……………………………(6分)
所以, 这次行车总费用y关于x的表达式是
（或:
……………………………………(8分)
（2）
,………………(11分)
仅当
时,
上述不等式中等号成立…………………………………………………(13分)
答：当x约为56.88km/h时, 行车的总费用最低, 最低费用的值约为82.16元.……………………………………………………………………………(14分)
20．设函数f(x)＝x－m－mx，其中m为常数且m<0。
（1）解关于x的不等式f(x)<0；
（2）试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.
解：（1）由f(x)<0得，x－m<mx，得－mx<x－m<mx，即
……2分
①当m=－1时，
x<－…………………………………………………4分
②当－1< m<0时，
<x<……………………………………6分
③当m<－1时，
x<………………………………………………8分
综上所述，当m<－1时，不等式解集为{xx<}
当m=－1时，不等式解集为{xx<－}
当－1<m<0时，不等式解集为{x<x<}………………………10分
（2）f(x)= 
∵m<0，∴1－m>0，f(x)在[m，+∞)上单调递增，要使函数f(x)存在最小值，则f(x)在(－∞，m)上是减函数或常数，∴－(1+m)≤0即m≥－1，又m<0，∴－1≤m<0。
故f(x)存在最小值的充要条件是－1≤m<0，且f(x)min= f(m)=－m2. …………………18分
21. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即 . 在此基础上有函数.
（1）求的值；
（2）对于函数，现给出如下一些判断：
①
函数是偶函数；
②
函数是周期函数；
③
函数在区间上单调递增；
④
函数的图像关于直线对称；
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明；
（3）若，试求方程的所有解的和.
21．解：
(1)
=0，
=
， 
=0.3. ………………………6分
（2）正确结论有：①②④. ………………………………………………………………9分
证①：当
，
时，
，∴
，
，
∴
；
当
，时，
，故函数是偶函数. …14分
证②：对任意
，
，∴
，
∴
，
故函数是以1为周期的周期函数. ……………………………………14分
证④：∵函数是偶函数，即
=
，
又函数是以1为周期的周期函数，即
=，
∴=
=
=
，
故函数的图像关于直线对称. …………………14分
（3）∵函数是偶函数，即求当
时，所有解之和.
由判断④知当
时有两解，且关于
对称，故其和为413. …20分