2007学年度（上）新中高级中学期中考试高三数学试卷
(满分150分，考试时间120分钟)
一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 方程 
的解是
；
2. 方程
的解集为
； 。
3. 已知集合
，
，且
，则实数
的值是__________；
4. 若
，且
，则
所在的象限是____________；
5. 已知正数数列1,
是等差数列, 正数数列
是等比数列,则
的值为__________；
6.不等式
的解集是__________；
7. 数列
中，
，又数列
是等差数列，则
= __________
8.设函数y＝f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］
上的图象为如图所示的线段AB，则在区间［1，2］上f（x）＝ ；
9．数列
满足
且
,则
10．
奇函数，且
的解集为
，
的解集为
则
的解集为_____________；
11. （文）对于实数
，符号
表示不超过的最大整数，例如
，
，不等式
的解集是 ___________ ；
（理）给出定义：若
（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作
，即 
. 在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：
①函数
的定义域是R，值域是[0，
]；
②函数的图像关于直线
(k∈Z)对称；
③函数是周期函数，最小正周期是1；
④ 函数
在
上是增函数；
其中真命题是___________ ；
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
12．集合P={(x，y) y=k}，Q={(x，y) y=ax+1，a>0且
}，已知P∩Q只有一个子集，则实数k的取值范围是（A）(－∞，1)
（B）(－∞，1
（C）(1，+∞) （D）(－∞，+∞)
（ ）
13. 等比数列中,若
,则
的值为（ ）
（A）14 （B）16 （C） 18 （D）20 （ ）
14. 设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的三条边，且
，则△ABC的面积为
（A）
(B)
(C)
(D)
( )
15（文）对一切实数，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
A、
B、
C、
D 
（ ）
（理）若不等式
对于任意正整数
恒成立，则实数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（ ）
三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16.（本题满分14分）
已知集合A＝
，B＝
．
⑴当a＝2时，求A
B；
⑵求使B
A的实数a的取值范围．
17. (本题满分12分)
某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
18. (本题满分14分)
设关于x的函数
的最小值为
.
⑴
写出的表达式；
⑵试确定能使
的值，并求出此时函数
的最大值．
19. (本题满分16分)
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足①x＞1时，f（x）＜0；
②f（
）=1；③对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），
（1）判断并证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求f（1）， f（2）的值；
（3）求不等式f（x）+f（5－x）≥－2的解集；
20.(本题满分16分) 已知函数
，
。
（1）试求函数
的反函数
；
（2）（文）函数
，求
的定义域，判断函数的增减性;
（理）函数，求的定义域，判断并证明函数的增减性；
（3）（文）若（2）中函数的最小值为3，试求
的值。
（理）若（2）中函数，有
在定义域内恒成立，求的范围。
21.
(本题满分18分) 已知
（1）求
的值；
（2）若数列
的通项公式为
，求数列的前100项和
；
（3）若数列的通项公式为
，且数列的前项的和为
，又
：
， 
；且
若满足对任意不小于2的正整数；都有
恒成立，试求的最大值。
2007学年度（上）新中高级中学期中考试高三数学试卷（参考答案）
(满分150分，考试时间120分钟)
一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 方程 的解是 x=0 ；
2. 方程的解集为
；
3. 已知集合，，且，则实数的值是_____2_____；
4. 若，且，则所在的象限是____第三象限________；
5. 已知正数数列1,是等差数列, 正数数列是等比数列,则的值为_____
_____；
6.不等式的解集是__
________；
7. 数列中，，又数列是等差数列，则= __________
8.设函数y＝f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］
上的图象为如图所示的线段AB，则在区间［1，2］上f（x）＝ x ；
9．数列满足且,则 
10．奇函数，且的解集为，的解集为则的解集为_____
________；
11. （文）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，不等式的解集是 _
__________ ；
（理）给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域是R，值域是[0，]；
②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；
③函数是周期函数，最小正周期是1；
④ 函数在
上是增函数；
其中真命题是__①___②___③___ ；
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
12．集合P={(x，y) y=k}，Q={(x，y) y=ax+1，a>0且}，已知P∩Q只有一个子集，则实数k的取值范围是（A）(－∞，1)
（B）(－∞，1 （C）(1，+∞) （D）(－∞，+∞)
（ B ）
13. 等比数列中,若,则的值为（ ）
（A）14 （B）16 （C） 18 （D）20 （ B ）
14. 设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的三条边，且
，则△ABC的面积为
（A） (B) (C) (D)
( C )
15（文）对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A、
B、 C、
D （ B ）
（理）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D） （ C ）
三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16.（本题满分14分）
已知集合A＝，B＝．
⑴当a＝2时，求AB；
⑵求使BA的实数a的取值范围．
解：⑴
（2）
当a＜
时，A＝（3a＋1，2） 要使BA，必须
，此时a＝－1；
当a＝时，A＝
，使BA的a不存在；
当a＞且，时，A＝（2，3a＋1）要使BA，必须
，此时1<a≤3．
综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}
17. (本题满分12分)
某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
解： xy+
x2=8,∴y=
=
(0<x<4
).
于定, 框架用料长度为
l=2x+2y+2(
)=(+)x+
≥4
.
当(+)x=,即x=8－4时等号成立.
此时,
x≈2.343,y=2≈2.828.
故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.
18. (本题满分14分)
设关于x的函数
的最小值为.
(1)写出的表达式；
⑵试确定能使的值，并求出此时函数=
的最大值．
解：(1)f(x)＝2(cosx－)2－－2a－1。
当a≥2时，则cosx＝1时，f(x)取最小值，即g(a)＝1－4a；
当－2＜a＜2时，则cosx＝时，f(x)取最小值，即g (a)＝－－2a－1；
当a≤－2时，则cosx＝－1时，f(x)取最小值，即g (a)＝1
综上所述：g (a)＝
(2)若g (a)＝，a只能在[－2,2]内。
解方程－－2a－1＝，得a＝－1，和a＝－3。因－1∈[－2,2]，故a＝－1为所求，此时
f(x)＝2(cosx＋)2＋；当cosx＝1时，f(x)有最大值5。
19. (本题满分16分)
已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足①x＞1时，f（x）＜0；
②f（）=1；③对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（x y）=f（x）+f（y），
（1）判断并证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求f（1）， f（2）的值；
（3）求不等式f（x）+f（5－x）≥－2的解集；
解：(1)任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＞x2，则
＞1.
f（x1）=f（·x2）=f（）+f（x2），
∴f（x1）－f（x2）=f（）＜0.
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数.
(2)f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0.
又∵f（1）=f（2）+f（
）=f（2）+1=0.
∴f（2）=－1.∴f（4）=2f（2）=－2.
(3)原不等式等价于
20.(本题满分16分) 已知函数，。
（1）试求函数的反函数；
（2）（文）函数，求的定义域，判断函数的增减性;
（理）函数，求的定义域，判断并证明函数的增减性；
（3）（文）若（2）中函数的最小值为3，试求的值。
（理）若（2）中函数，有在定义域内恒成立，求的范围。
解：（1）易求
。
（2）(文)
，
时，定义域为
；
时，定义域为
；
此函数在定义域内单调递增（∵
与
在公共定义域内均为增函数，∴它们的和也为增函数）。
（理）作差证明（略）
（3）（文）当时，由
；
当时，由
。 ∴所求的
的值为
或
。
（理）当时，由
。
当时，由
。
∴的取值范围是
。
21.
(本题满分18分) 已知
（1）求的值；
（2）若数列的通项公式为，求数列的前100项和；
（3）若数列的通项公式为，且数列的前项的和为，又：， ；且若满足对任意不小于2的正整数；都有恒成立，试求的最大值。
解：（1）=
（2）
(3)
,
,
,
,
,
m
