湖北省黄冈中学、襄樊四中2008届11月联考
数学试题（理科）
命题人：黄冈中学 张智 审题人： 黄冈中学 袁小幼 校对人：黄冈中学 张智
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
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，集合P （M∪N），则P的个数是 （ ）
A．6 B．8 C．7 D．5
2．已知函数
的值为 （ ）
A．－4 B．2 C．0 D．－2
3．等差数列
（ ）
A．36 B．18 C．72 D．9
4．定义在R上的函数
既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期。若将方程=0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为 （ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
5．已知等比数列
的值为
（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
6．曲线
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3，…，则P2P4等于 （ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
7．若
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．定义域为R的函数
恰有5个不同的实数解
等于 （ ）
A．0 B．
C．
D．1
9．已知
有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n = （ ）
A．11 B．20 C．19 D．21
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时，
（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置上。
11．数列
项和为
。
12．若
= 。
13．函数
上为增函数，则实数m的取值范围是
。
14．设
的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 。
15．给出下列命题：
①若
成等比数列；
②已知函数
的交点的横坐标为
；
③函数
至多有一个交点；
④函数
其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数的单调递减区间；
（III）若
17．（本小题满分12分）
已知
（I）求
及其定义域；
（II）设
恒成立，求实数k的取值范围.
18．（本小题满分12分）
阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券……
（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）。
（I）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？
（II）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠？
19．（本小题满分12分）
已知数列
（I）若存在一个实数
的值
（II）在（I）的条件下，求出数列
20．（本小题满分13分）
设
、b为函数
（I）判断函数
上的单调性，并证明你的结论；
（II）若曲线
处的切线斜率为－4，且方程
有两个不等的实根，求实数m的取值范围。
21．（本小题满分14分）
已知定义在R上的函数，满足条件：①
；②对非零实数x，都有
（I）求函数的解析式；
（II）设函数
，
、
的前n项和，求证：当
湖北省黄冈中学、襄樊四中2008届11月联考
数学试题（理科）参考答案
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11．
12． 13．
14．
15．③④
16．（I）
………………4分
（2）当
单调递减，故所求区间为
………………8分
（3）
时
………………12分
17．解：（I）由
由此得
故反函数
的定义域为（－1，1） ………………6分
（II）当
则
………………12分
18．解：（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，所以这位顾客按下述方法可获得最多货物，
第一次使用7000元，可得奖励券
第二次使用2100元，可得奖励券
第三次使用600元，可得奖励券
（此时剩下奖励券30元）
第四次使用200元，可得奖励券60元（此时剩下奖励券10元）
最后一次使用70元，没有奖励券
故共可购回7000+2100+600+200+70=9970（元）货物 ………………6分
（2）设阳光商场用a元钱最多能购回m元钱的货物，
则由（1）小题知：
新世纪百货用a元钱能购回
元钱的货物，故新世纪的优惠比重百更多。
………………12分
19．解：（1）假设存在实数
无关的常数。
故存在实数
为等差数列. ………………6分
（II）由（I）可得
①
②
①－②得
………………12分
20．解：（I）依题设方程
的两根分别为a、
（注：写成g(x)在区间（
）上单调递增不扣分） ………………6分
（II）由
，
的变化情况如下：
| (－∞,－3) | －3 |
|
| －1 | （－1，0） | 0 | |
|
| — | 0 | + | + | 0 | — | |
|
|
| 极小值 |
|
| 极大值－1 |
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|
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………………13分
21．解：（I）当
故
两式联立可得，
………………4分
（II）由（I）可得
，
联立
，
所以
………………8分
………………14分