北京市海淀区2008届高三年级第一学期期中练习
数 学（理科）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
（1） 在复平面内，复数
对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（2） 函数
的反函数是
（A）
（B）
（C）
（D） 
（3）“
”是“
”成立的
（A）充分必要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既非充分也非必要条件
（4）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
（A）
（
）
（B）
（
）
（C）
（）
（D）
（，
）
（5）在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为
（A）
（B）
（C） 
（D）
（6）定义在R上的函数
为奇函数，且
.若
，则
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
（7）给出下列命题：
①如果函数对任意的，都有
（a为一个常数），那么函数必为偶函数；
②如果函数对任意的，满足
，那么函数是周期函数；
③如果函数对任意的
且
，都有
，那么函数在
上是增函数；
④函数
和函数
的图象一定不能重合.
其中真命题的序号是
（A）①④ （B）②③ （C）①②③ （D）②③④
（8）如果数列
满足：首项
且
那么下列说法中正确的是
（A）该数列的奇数项
成等比数列，偶数项
成等差数列
（B）该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列
（C）该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列
（D）该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
| 4 | ||||||||
| 9 | A | 3 | 5 | 7 | ||||
| 2 | 6 | 3 | 5 | |||||
| 4 | 2 | 8 | 6 | 9 | ||||
| 1 | 7 | |||||||
| 6 | 9 | 3 | 5 | 4 | ||||
| 2 | 8 | 9 | B | 5 | ||||
| 1 | 2 | 8 | 7 | 6 | ||||
| 4 |
（9）
__________________.
（10）已知等差数列中，
且
，则
，公差
_________.
（11）若
的展开式中第三项是常数项，则
，且这个展开式中各项的系数和为_______.
（12）在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数共有 个.
（13）若不等式
对于一切
恒成立，则实数
的取值范围为__ __ .
（14） 近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：
①在9×9的九宫格子中,分成9个3×3的小九宫格,用1到9这9个数字填满整个格子;
②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少.
那么A处应填入的数字为__________；B处应填入的数字为__ _.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
（15）（本小题共12分）
已知全集
，集合
集合
（I）求
，
；
（II）求 
.
（16）（本小题共13分）
已知函数
（I）求函数f （x）的单调减区间；
（II）当
.
（17）（本小题共13分）
今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为
米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱（接口连接问题不考虑）.
（I）求水箱容积的表达式，并指出函数的定义域；
（II）若要使水箱容积不大于4
立方米的同时，又使得底面积最大，求的值.
（18）（本小题共14分）
某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的.已知他每次射击时，命中环数
的分布列如下表：
|
| 8 | 9 | 10 |
| P | 0.1 | 0.5 | 0.4 |
该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止.
（I）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率；
（II）求该选手训练停止时，射击的次数
的分布列及期望.
（19）（本小题共14分）
已知数列的前n项和为
，且
.
（I）求证：数列
为等比数列；
（II）求数列的通项公式及前n项和，并求
；
（III）若数列
满足：
，
，求数列的通项公式.
（20）（本小题共14分）
设函数
的定义域为R，若
对一切实数均成立，则称函数为
函数．
（I）试判断函数
、
和
中哪些是函数，并说明理由；
（II）若函数
是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有
，
求证：函数一定是函数；
（III） 求证：若，则函数
是函数.
参考答案
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）
| 题号 | （1） | （2） | （3） | （4） | （5） | （6） | （7） | （8） |
| 答案 | A | D | B | B | C | C | B | D |
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9）
（10）9，2 （11）6，1 （12）60 （13）
（14）1，3
三、解答题（本大题共6小题,共80分.）
（15） （共12分）
解: （I）由已知得： 
， ∴ 
解得
， ∴
.
……………….3分
由
， 解得
.
∴
.
…………………………………………………8分
（II）由（I）可得
. ……………………………………10分
故
或
.
.……………12分
（16） （共13分）
解：（I）
3分
令
，
4分
-------------------------------------------------6分
∴函数的单调减区间为
（注：也可以写为
）
-----------------7分
（II）
由（I）可得
|
| 1 |
| 2 |
| 4 |
|
|
| 0 | ＋ | ||
|
| 5 | ↘ | 3 | ↗ |
|
—
-----------------------------12分
13分
，得
.
11分
13分
（17）（共13分）
解：（I）由已知该长方体形水箱高为米，底面矩形长为﹙
﹚米，宽﹙
﹚米. 2分
∴该水箱容积为
.
4分
其中正数满足
∴所求函数定义域为
.
7分
（II）由
得
或
.
定义域为,
.
9分
此时的底面积为
.
10分
由
，可知
在
上是单调减函数，
12分
∴
13分
答：满足条件的是
米.
（18）（共14分）
解：（I）“射击三次的总环数为30”的事件记为A，“射击三次的总环数为29” 的事件记为B. ---1分
则
，
.
----------------------------5分
由已知，事件A与B互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为
.
------------------------------------------------------7分
即该选手恰好射击了三次的概率为0.304. ---------------------------8分
（II）由（Ⅰ）的结果可得分布列如下
|
| 3 | 6 |
| P | 0.304 | 0．696 |
---------------------------------11分
.
--------------------------------------------13分
即该选手训练停止时射击的次数的期望为5.088.
---------------------------14分
（19）（共14分）
解：（I）将
代入已知
，
整理得
.
-----------------------------4分
又由已知
，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. -------------------5分
（II）由（I）的结论可得
， ∴
. ----------------------------------------6分
当
时，
，
由已知，∵当
时， 
，
∴ 
.
----------------9分
∴
------------------------------------------------------10分
（III）由，得
，
由此式可得
，
，
，
.
把以上各等式相加化简得
，
--------------------------------13分
∴
---------------------------------------------------------------------14分
.
（20）（共14分）
证明：（I）∵
，∴是函数；
1分
∵
，∴不满足
，∴
不是函数；
3分
当
时，
，显然符合条件；当
时，
，
∴
是函数.
4分
（II）∵函数是定义在
上的奇函数，∴
即. 5分
∴
即，
∴函数一定是函数.
7分
（III）设
，则
.
①当时，
∵∴
，
当时，
，
∴当
时，
.
∴
在
上减函数, 
.又
∴
.
时，
，∴函数在上增函数，
.
，即
.
②当
，
，∴
.
显然为偶函数，∴
，即.
∴在R上恒有成立，则函数一定是函数.
14分
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