2004届重庆市高三联合诊断性考试第二次
文科数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 
球的表面积公式S=4πR2 其中R表示球的半径
球的体积公式 
其中R表示球的半径
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合M={1，2，3}，设集合N满足关系M∪N=M，则集合N的个数为 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．若y=f(x)cosx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是 （ ）
A．sinx B．cosx C．tanx D．cotx
3．已知f(x6)=log2x, 则f(8)等于 （ ）
A．
B．
C．8 D．18
4．某市出租车起步价为5元（起步价内行驶里程为3km），以后每1km价为1.8元（不足1km
|
|
（ ）
A B C D
5．设向量
.则锐角
为 （ ）
A．30° B．60° C．75° D．45°
6．若数列1，x1,x2, 2成等差数列，数列1，y1, y2, 2成等比数列，则x1, x2, y1, y2的大小关系是
（ ）
A．x2>y2>x1>y1 B．x2>x1>y2>y1 C．y2>x2>x1>y1 D．y2>y1>x2>x1
7．已知二项式
的展开式中含
的项是第8项，则正整数n的值为 （ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
8．若曲线f(x)=x4－x+2在点P处的切线与直线x+3y－1=0垂直，则点P的坐标是 （ ）
A．（1，0） B．（1，2） C．（－1，4） D．（－1，0）
9．平面M、N都垂直于平面
，且M∩=a，N∩=b.给出四个命题：①若a⊥b，则M⊥N；
②若a//b，则M//N；③若M⊥N，则a⊥b；④若M//N，则a//b.
以上命题中，正确命题的个数为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．三角形ABC的三个顶点在球面上，且AB=18，BC=24，AC=30.球心到△ABC所在平面的距离为球半径的.那么这个球的表面积为 （ ）
A．1600π B．1200π C．300π D．
π
11．双曲线C和椭圆4x2+y2=1有相同的焦点，它的一条渐近线为
，则双曲线C的方程为 （ ）
A．4x2－2y2=1 B．2x2－y2=1
C．4x2－2y2=－1 D．2x2－y2=－1
12．函数y=f(x)在（－2，0）上是减函数，函数y=f(x－2)是偶函数，则有 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题， 共90分）
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分只填结果，不要过程. ）
13．某校高中三个年级的学生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人.现在采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 .
14．设（2cosx－sinx）（sinx+cosx－3）=0,则cos2x的值为 .
15．设P是等轴双曲线x2－y2=a2(a>0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若
，
PF1=6，则a的值是 .
16．x, y∈R，则满足条件x+2y≥0，x－3y－5≤0和x2+y2－4x+2y－4≤0的点P（x,y）所在的区域面积为 .
三、解答题：（本大题6个小题，共74分必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）.
17．（12分）甲、乙、丙3人分别与丁进行乒乓球比赛，如果甲、乙2人获胜的概率均为0.8，丙获胜的概率为0.6，求甲、乙、丙3人中：
（1）3人都获胜的概率；
（2）至少有2人获胜的概率；
（3）其中恰有1人获胜的概率.
|
的最小正周期为π，且当x=
时，函数有最小值.
（1）求f(x)的解析式；
（2）作出f(x)在[0，π]范围内的大致图象.
|
（1）求点D到平面PAC的距离；
（2）若点M分
的比为2，求
二面角M—CD—A的大小.
20．（12分）已知f(x)=2x3－ax2(a∈R且a≠0，x∈R).
（1）求f(x)的单调递减区间；
（2）若x2－5x+4<0的解集为A，且f(2)=0, 求f(x)在区间A上的极值.
21．（12分）抛物线
的准线与y轴交于A点，过A作直线与抛物线交于M、N两点，点B在抛物线的对称轴上，且
（1）求
的取值范围；
（2）是否存在这样的点B，使得△BMN为等腰直角三角形，且∠B=90°.若存在，求出点B；若不存在，说明理由.
22．（14分）直线l1过（1，0）点，且l1关于直线y=x对称的直线为l2，已知点
（1）求l2的方程；
（2）求{an}的通项公式；
（3）设
数列{bn}的前n项和Sn，求证：
2004届重庆市高三联合诊断性考试（第二次）
数学试题评分标准及参考答案（文科试卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）
DABCD 、ACBAB 、CB
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．15、10、20； 14．
； 15．2； 16．
三、解答题：（本大题6个小题，共74分）
17．（12分）
解：设甲、乙、丙分别与丁进行比赛的事件记为A、B、C，显然A、B、C是相互独立事件.
（1）P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.8×0.8×0.6=0.384；………………（3分）
（2）P（A·B·
）+P（A·
·C）+P（
·B·C）+P（A·B·C）…………（5分）
=P（A）·P（B）·P（）+P（A）·P（）·P（C）+P（）·P（B）·P（C）+
P（A）·P（B）·P（C）=0.832；………………………………………………（8分）
（3）P（A··）+P（··C）+P（·B·）………………………（10分）
=P（A）·P（）·P（）+P（）·P（）·P（C）+P（）·P（B）·P（）
=0.152.………………………………………………………………………………（12分）
|
解：（1）∵
=
……………………………………（2分）
=
，……………（4分）
由f(x)的周期为
……………………………………（5分）
1）当
不是最大或最小值，舍去.
……………………………………………………………………………………（6分）
2）当
是最小值，…（7分）
故，
为所求解析式.…………………………………………（8分）
（2）所作大致图形如上.…………………………………………………………………（12分）
19．（12分）
解法一：（1）过D作DQ⊥AC于点Q，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ.…………………………（1分）
|
∴又由
…………（4分）
∴
……（5分）
∴D到平面PAC的距离为
.…………………………………………………（6分）
（2）过A作AK⊥DC于K点，连MK.…………………………………………（7分）
∵PA⊥平面ABCD，∴MK⊥CD.…………………………………………………（8分）
∴∠MKA为M—CD—A的平面角.………………………………………………（9分）
∵PA=AD=3，又
=2，∴PM=2，MA=1.
在△ACD中，由面积相等，得AD·AB=CD·AK，又CD=
，
∴
…………………………（11分）
即，
…………………………………………………………（12分）
解法二：以A为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为x、y、z轴建立坐标系.………（1分）
（1）过D作DQ⊥AC于Q，∵PA⊥DQ
∴DQ⊥平面PAC，∴DQ就是D到平面PAC的距离.……………………（2分）
设
…………………………………………（6分）
（2）过A作AK⊥DC于K点，设
………………（7分）
则
…………………………………（8分）
……………………………………（9分）
∵MA⊥平面ABCD，∴MK⊥CD.
∴∠MKA就是M—CD—A的平面角.……………………………………（11分）
∴
…………………（12分）
20．（12分）
解：（1）
……………………………（1分）
1）当a>0时，
…………………………………………（3分）
2）当
……………………………………………（5分）
∴当a>0时，f(x)的单调递减区间是（0，
）；当a<0时，
f(x)的单调递减区间为（，0）.………………………………………………（7分）
（2）由x2－5x+4<0,得1<x<4.…………………………………………………………（8分）
由f(2)=0得，a=4,又f(x)在(1,4)上可导，由（1）f(x)在
递增，
……………………………………………………………………………………（11分）
…………………………………（12分）
21．（12分）
解：（1）抛物线为x2=－8y,准线为y=2,
∴A（0，2）.……………………（1分）
|
∴PB垂直平分线段MN.………………（2分）
设MN为：y=kx+2,与x2=－8y联立，得
x2+8kx+16=0………………………………（*）
由
………………………………（3分）
又点P坐标为，
∴直线PB方程为：
……………………………………（5分）
令x=0,得y=－2－4k2<－6, ∴
的取值范围是
.…………………………（6分）
（2）设存在满足条件的点B（0，－2－4k2）,M、N坐标为M(x1, kx1+2)，N(x2, kx2+2)
…………………………………………………………………………………………（7分）
由KBM·KBN=－1，得
………………………………………（9分）
即,x1x2+k2x1x2+4k(1+k2)(x1+x2)+16(1+k2)2=0,
由（1）中（*）式，韦达定理，代入上式得，
16(1+k2)+16(1+k2)2+4k(－8k)(1+k2)=0
解得，
……………………………………………………………（11分）
∴点B（0，－10）为所求.……………………………………………………………（12分）
22．（14分）
解：（1）可设l2:y=kx+b, 又l1、l2关于直线y=x对称，l1过（1，0）点，
∴l2过（0，1）点，∴b=1.…………………………………………………………（2分）
（2）由（1）
=1，
∴{
}是公差为1、首项为
的等差数列.………………………………（7分）
…………………………………………（8分）
（3）
……………（12分）
……………………………………………………………………………………（13分）
………………………………………………（14分）