2004届重庆市高三联合诊断性考试第二次
理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式 
其中R表示球的半径
球的体积公式 
其中R表示球的半径
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分.）
1．集合
，则A、B满足的关系是 （ ）
A．A
B B．BA C．A=B D．A
B或BA
2．已知
，则
等于 （ ）
A．
B．
C．8 D．18
3．设
是定义在R上的最小正周期为
的函数，
，则
的值为 （ ）
A．－ B． C．
D．
4．函数
，则函数
的图象是 （ ）
5．设公比为q（q<1）的等比数列
的前n项和为Sn，且
.则下列命题正确的
是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．设a、b是不共线的两个非零向量，已知
若A、B、D三点共线，则p的值为 （ ）
A．1 B．2 C．－2 D．－1
7．在
的展开式中，x3项的系数是x2项系数与x5项系数的等比中项，则a值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．平面M、N都垂直于平面
，且M∩=a，N∩=b.给出四个命题：①若
，则
M⊥N；②若a//b，则M//N；③若M⊥N，则；④若M//N，则a//b.
以上命题中，正确命题的个数为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．计算
的值为 （ ）
A．
B．0 C．－ D．
10．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
，经过这三个点的小圆的周长为4
.那么这个球的半径为 （ ）
A．
B．
C．2 D．4
11．已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2.抛物线C以F1为顶点，F2为焦点.P为两曲线的一个交点.若
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达.如果只打开三个检票口，需要半小时才能使所有滞留旅客通过检票口，如果打开六个检票口则只需10分钟就能让所有滞留旅客通过.现要求在5分钟内使所有滞留旅客通过，则至少同时需要打开的检票口数为（假设每个窗口单位时间内的通过量相等）（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分，只填结果，不要过程）.
13．已知
=
.
14．设P是等轴双曲线
右支上一点，F1、F2是左右焦点，若
，
PF1=6，则该双曲线的方程为 .
15．已知向量
的模为
的值为
.
16．定义一种“*”运算：对于
满足以下运算性质，（1）2*2=1；（2）（2n+2）*2=3（2n*2）.则用含n的代数式表示2n*2为
.
三、解答题：（本大题6个小题，共74分，必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）.
17．（12分）已知函数
的图象在x=1处的切线方程为
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在[－3，1]上的最值.
18．（12分）已知函数
的最小正周期为，且图象关于直线
对称.
（1）求的解析式；
（2）若函数
的图象与直线y=a在[0，
]上只有一个交点，求实数a的取值范围.
19．（12分）在直角梯形P1DCB中，P1D//CB，CD⊥P1D，且P1D=6，BC=3，DC=
，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P—CD—B成45°角.设E、F分别是线段AB、PD的中点.
（1）求证：AF//平面PEC；
（2）求PC与底面所成角的正弦值.
20．（12分）设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下发生B的概率为P′，则由A产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.
一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、……、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第n站时的概率为Pn.
（1）求P1，P2，P3；
（2）设
，求证：数列是等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率.
21．（12分）已知两个动点A、B和一个定点M
均在抛物线
上.设F为抛物线的焦点，Q为对称轴上一点，若
成等差数列.
（1）求
的坐标；
（2）若=3，
的取值范围.
22．（14分）已知
（1）若
且对任意，都有
求所有x0组成的集合；
（2）若
，是否存在区间A，对，当且仅当
时，就有
如果存在，求出这样的区间A，如果不存在，说明理由.
数学试题（理科）评分标准及参考答案
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）
BACBC DBADB AC
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．
； 14．
； 15．
； 16．3n—1
三、解答题：（本大题6个小题，共74分）
17．（12分）解：（1）∵
处的切线方程为
，…………2分
∴
…………5分
故，
…………6分
（2）∵
令
解得驻点为 
…………7分
那么的增减性及极值如下：
| x | （－∞，－1） | －1 | （－1，3/2） | 3/2 | （3/2，+∞） |
|
| + | 0 | － | 0 | + |
| f(x)增减性 | 递增 | 极大值16 | 递减 | 极小值－61/4 | 递增 |
的符号………………9分
∵驻点
属于[－3，1]，且
…………11分
∴在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16.…………12分
18．（12分）解：（1）∵
=
…………2分
|
………………3分
由f(x)的周期为
……4分
∴
………………5分
1）当
不是最大或最小值，其图象不关于对称，舍去.……………………………………………6分
2）当
是最小值，其图象关于对称.………………………7分
故，
为所求解析式.…………………………………………8分
（2）∵
在同一坐标系中作出
和y=a的图象：……………………………………10分
由图可知，直线y=a在
时，两曲线只有一个交点，
∴
……………………12分
19．（12分）解法一：设PC中点为G，连FG.……1分
∵FG//CD//AE，
且GF=
∴AEGF是平行四
边形，……2分
∴AF//EG，EG
平面PEC，∴AF//平面PEC.…………4分
|
∴BA⊥AD，BA⊥AP…………5分
∴BA⊥平面PAD…………①…………6分
又CD//BA，∴CD⊥PD，CD⊥AD，
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，
∴∠PDA=45°.…………8分
又PA=AD=3，∴△PAD是等腰直角三角形，
∴PA⊥AD…………②…………9分
由①、② ∴PA⊥平面ABCD，∴AC是PC在底面上的射影.…………10分
∵PA=3，
，∴
，
则
，∴PC与底面所成角的正弦值为
…………12分
解法二：（1）设线段PC的中点为G，连结EG.…………1分
∵
=
…………2分
∴AF//EG，又EG平面PEC，AF平面PEC，…………3分
∴AF//平面PEC.…………4分
（2）∵BA⊥P1D，∴BA⊥平面PAD…………①………………6分
又CD//BA，∴CD⊥PD，CD⊥AD，∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，
∠PDA=45°.………8分 又PA=AD=3，∴△PAD是等腰直角三角形，∴PA⊥AD…②
由①、② ∴PA⊥平面ABCD，………………9分
设PA与PC所成的角为
则PC与平面ABCD所成的角为
……10分
∵
、
、
两两互相垂直，
且
………………11分
故知PC与底面所成角的正弦值为
.………………12分
20．（12分）解：（1）∵P0=1，∴
……3分
（2）棋子跳到第n站，必是从第n－1站或第n－2站跳来的
，
所以
………………5分
∴
…………6分
∴
…………7分
故是公比为
，首项为的等比数列.
…………8分
（3）由（2）知，
=(P1－P0)+( P2－P1)+…+ (P99－P98)=
………………10分
………………11分
故，获胜的概率为
…………12分
21．（12分）解：（1）设
…1分
由
成等差数列，有
…………2分
∵
两式相减，得
…………3分
设AB的中点为
∴NQ是AB的垂直平分线，设
…………4分
∴
…………5分
∴
∴
…………6分
（2）由
……7分
∴抛物线为
…………8分
∴有
……9分
∴
…………10分
由
…………11分
∴
的取值范围为（0，4）.…………12分
22．（14分）解：（1）由
………………1分
∴
……2分 当
∴
…………4分
由题设，
……5分 假设
，……6分
当n=k+1时，
∴
时也成立.……………………………………8分
∴当
时，就有
∴所有x0组成的集合为
………………………………………………9分
（2）若
…………………………………………10分
令
…………11分
对于
…………12分
∴若对
必须且只须
…………13分
∴
…………………………………………14分