崇文区2006－2007学年度第二学期高三统一练习（二）
数 学（文科） 2007.5
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共 40分)
注意事项：
1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）
的值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）若
是等差数列
的前
项和，且
，
，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）“
”是“直线
与直线
平行且不重合”的 （ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）若
，且
，则
与
的夹角为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）在
这六个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数共有（ ）
（A）156个 （B）108个
（C） 96 个 （D） 84个
（6）对于直线
、
和平面
、
、
，则在下列条件中，可判断平面与平行的是（ ）
（A）、都垂直于平面
（B）内存在不共线的三点到的距离相等
（C）、是内两条直线，且
，
（D）、是两条异面直线，且，，
，
（7）设函数
在定义域内可导，
的图象如右图所示，
则导函数
的图象可能是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）设定义在
上的函数满足
当
时,
；
；
当
时,
,则在下列结论中：①
；②在上是递减函数；
③存在
,使
； ④若
,则
.
正确结论的个数是 ( )
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）4个
崇文区2006－2007学年度第二学期高三统一练习（一）
数 学（文科）
第II卷（共110分）
注意事项：
1． 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
| 题号 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |||
| 分数 | ||||||||
| 得分 | 评卷人 |
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中
横线上.
（9）双曲线
的渐近线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
（10）在900个零件中，有一级品400个，二级品300个，三级品200个，现采用分层抽样抽
取容量为45的样本，那么一级品，二级品，三级品抽取的个数分别为＿＿＿＿＿＿.
(11) 若球
的半径为2，球面上有两点
，且
，则两点间的球面距离为
＿＿＿＿＿.
（12）在
的展开式中，常数项是＿＿＿＿＿（用数字作答）.
（13）已知实数
满足不等式组
则
的最大值等于＿＿＿＿＿，
最小值等于＿＿＿＿＿.
（14）已知
是正四面体
的面
上一点，
点到平面
距离与到点
的距离相等，
则动点的轨迹为＿＿＿＿＿.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
| 得分 | 评卷人 |
(15)（本小题满分13分）
甲、乙两台雷达独立工作，在一段时间内，甲台雷达发现飞行目标的概率为
，乙台雷达发现飞行目标的概率为
，计算在这段时间内，
（Ⅰ）甲、乙两台雷达均未发现目标的概率；
（Ⅱ）至多有一台雷达发现目标的概率．
| 得分 | 评卷人 |
(16)（本小题满分13分）
已知
．
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）在
中，角
、
、
的对边分别是、、
，满足
，
求函数
的取值范围．
| 得分 | 评卷人 |
(17)（本小题满分13分）
如图，
是一块矩形铁板
，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱．
(Ⅰ)写出水箱的容积与水箱高度
的函数表达式，并求其定义域；
(Ⅱ)当水箱高度为何值时，水箱的容积最大，并求出其最大值．
| 得分 | 评卷人 |
(18)（本小题满分13分）
直四棱柱
中,
,为等边三角形, 且
.
(Ⅰ)求
与
所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角
的大小；
(Ⅲ)设
是
上的点,当
为何值时,
平面
？并证明你的结论.
| 得分 | 评卷人 |
(19)（本小题满分13分）
已知抛物线
：
的焦点与椭圆
：
的右焦点
重合,
是椭圆的左焦点．
(Ⅰ) 在中,若
,
,点在抛物线上运动,求重心
的轨
迹方程；
(Ⅱ) 若是抛物线与椭圆的一个公共点,且
,求
的值及
的面积．
| 得分 | 评卷人 |
(20)（本小题满分13分）
设为数列的前项和，且
数列
的通项公式为
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列
，证明数列的通项公式为
．
崇文区2006－－－2007学年度第二学期高三统一练习(二)
数学（文科）试题参考答案及评分标准 2007.5
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）（C）（2）（A ）（3）（C ）（4）（C ）（5）（A ）（6）（D）（7）（D）（8）（B）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）
（10）
（11）
（12）7 （13）13，
（14）椭圆一部分
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：设这段时间内“甲台雷达发现飞行目标”为事件；“乙台雷达发现飞行目标”为事件．
（Ⅰ）
甲、乙两台雷达均未发现目标，即事件
发生，
∴甲、乙两台雷达均未发现目标的概率为
．-----------------------------------5分
答：甲,乙两台雷达均未发现目标的概率为0.015．
(Ⅱ) 至多有一台雷达发现目标，即事件
发生．
∴
．
答：至多有一台雷达发现目标的概率为
．---------------------------------------------13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由
．
∵
，（
）
∴
，（）
∴的单调递增区间为
（）．------------------------6分
(Ⅱ) 由，
得
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，且
，
∴
，
．
∴
，
，
故函数的取值范围是
．----------------------------------------------------------13分
（17）（共13分）
解：(Ⅰ)由题意得 
．--------------------------------------------4分
(Ⅱ) ∵
，
∴
，
令
，即
，
解得，
或
（舍）．
当变化时,
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
| + |
|
|
|
|
| 最大值 |
|
由上表可知，当
时，容积有最大值，且最大值为
立方厘米．
--------------------------------------------------------------------13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）∵是直四棱柱，
∴
，且
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
即
（或其补角）是与所成的角．
连接
，在三角形
中，
，
，
∴
．
故与所成角的余弦值为
．------------------------------------5分
(Ⅱ)设
，则
，连接
，
∵
平面，
∴
为在平面内的射影，
∴
，
则
为二面角的平面角．
在
中，
，
，
，
故二面角的大小为
．-----------------------------------10分
（Ⅲ）在上取点，使得
，连接
，
∵
，
又
，且
，
∴
，
∴四边形
是一个正方形．
可证
，又
，
∴平面，此时
．
故当时，有平面．--------------------------------------------------14分
（19）（共13分）
解：(Ⅰ)设重心
,
.
则
整理得 
(
)
将()代入中,得
所以,重心的轨迹方程为--------------------6分
(Ⅱ) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点,由得
,
∴
椭圆方程为
.
设
,由
得 
∴
(舍).
∵
是的准线,即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点,
设点到抛物线准线的距离为
,则
．
又
,
∴
, 
.
过点作
轴,垂足为
,
在
中,
,
在
中,
,
∴
,
∵
∴
.
∴
.--------------------------------------13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）∵
∴
，
∴
当≥2时，
∴
即
≥2
.
∴数列是以3首项，公比为3的等比数列，
∴
-------------------------------------------------------------6分
证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知
、
显然不是数列中的项.
∵
∴
是数列中的第6项，
设
是数列中的第
项，则
、
.
∵
，
∴
不是数列中的项.
∵
,
∴
是数列中的项.
∴
，
∴数列的通项公式是．----------------------------------------14分