崇文区2006－－－2007学年度第二学期高三统一练习(二)
数 学（理科） 2007.5
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共40分)
注意事项：
1.答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）条件
：复数
是纯虚数，条件
：
，则是的（ A ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（2）函数
︱
︳的值域是 （ C ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）函数
的反函数为（ B ）
（A）
（B）
（C）
（D）
(4) 对于直线
、
和平面
、
、
，则在下列条件中，可判断平面与平行的是（ D ）
（A）、都垂直于平面
（B）内存在不共线的三点到的距离相等
（C）、是内两条直线，且
，
（D）、是两条异面直线，且，，
，
（5）设函数
在定义域内可导，
的图象如右图所示，
则导函数
的图象可能是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
（6）球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
，且经过这三个点的小圆的周长
为
，则此球的半径为（ B ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）若
是等差数列
的前
项和,其首项
,
,
,则使
成立的最大自然数是
( A )
（A）198 （B）199
（C）200 （D）201
(8)设定义在
上的函数满足
当
时,
；
；
当
时,
,则在下列结论中：①
；②在上是递减函数；
③存在
,使
； ④若
,则
.
正确结论的个数是 (B )
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）4个
崇文区2006－2007学年度第二学期高三统一练习（二）
数 学（理科）
第II卷（共110分）
注意事项：
1． 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
| 题号 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |||
| 分数 | ||||||||
| 得分 | 评卷人 |
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中
横线上.
(9) 
的值等于 ＿＿＿＿＿＿.（3）
(10) 若
，且
，则
与
的夹角为＿＿＿＿＿＿.（
）
(11) 在
的展开式中，
的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）.（-192）
（12）在
这六个数字组成的没有重复数字的五位数中，是5的倍数的共有＿216＿个
（用数字作答）.
（13）已知实数
满足不等式组
则
的最大值等于＿＿＿＿＿，
最小值等于＿＿＿＿＿.（13，
）
（14）如图，
是正四面体
的面
上一点，点到
平面
距离与到点
的距离相等，则动点的轨迹为
＿＿＿＿＿＿，其轨迹的离心率为＿＿＿＿＿＿＿.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
| 得分 | 评卷人 |
(15)（本小题满分13分）
已知
．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）在
中，角
、
、
的对边分别是、、
，满足
，
求函数
的取值范围．
| 得分 | 评卷人 |
(16)（本小题满分13分）
已知盒子里有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为4的球3个.
（Ⅰ）若从盒子里一次任取3个球，假设取出每个球的可能性都相同，求取出的三个球中标号为1，2，4的球各一个的概率；
(Ⅱ)若第一次从盒子里任取1个球，放回后，第二次再任取1个球，假设取出每个球的可能性都相同，记第一次与第二次取出球的标号之和为
，求随机变量的分布列及数学期望.
| 得分 | 评卷人 |
(17)（本小题满分13分）
直四棱柱
中,
,为等边三角形, 且
.
(Ⅰ)求
与
所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角
的大小；
(Ⅲ)设
是
上的点,当
为何值时,
平面
？并证明你的结论.
| 得分 | 评卷人 |
(18)（本小题满分13分）
已知抛物线
：
的焦点与椭圆
：
的右焦点
重合,
是椭圆的左焦点．
(Ⅰ) 在中,若
,
,点在抛物线上运动,求重心
的轨迹方程；
(Ⅱ) 若是抛物线与椭圆的一个公共点,且
,求
的值
及
的面积．
| 得分 | 评卷人 |
(19)（本小题满分13分）
如图，
是一块边长为
的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿虚线折叠后，
焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度与底面边长的比不超过常数
．
(Ⅰ)写出水箱的容积与水箱高度的函数表达式，并求其定义域；
(Ⅱ)当水箱高度为何值时，水箱的容积最大，并求出其最大值．
| 得分 | 评卷人 |
(20)（本小题满分13分）
已知数列满足
,且
．
(Ⅰ)求证：当
时,
；
(Ⅱ)若
对任意的
（
）恒成立, 求
的最大值．
崇文区2006－－－2007学年度第二学期高三统一练习(二)
数学（理科）试题参考答案及评分标准 2007.5
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）（A）（2）（C）（3）（B）（4）（D）（5）（D）（6）（B）（7）（A）（8）（B）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）3 （10） （11）
192 （12）216 （13）13， （14）椭圆一部分，
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）由
．
∵
，（
）
∴
，（）
∴的单调递增区间为
（）．----------------------6分
(Ⅱ) 由，
得
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，且
，
∴
，
．
∴
，
，
故函数的取值范围是
．----------------------------------------------------------13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设从盒子里一次任取3个球，取出的三个球中标号为1，2，4的球各一个的概率为,
则=
.
答：取出的三个球中标号为1，2，4的球各一个的概率为
.--------------------------5分
(Ⅱ)
由题意可得，随机变量的取值分别是2，3，4，5，6，8．
则随机变量的分布列如下：
|
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
|
| 0.09 | 0.24 | 0.16 | 0.18 | 0.24 | 0.09 |
(=2)=
(=3)= 
(=4)=
(=5)= 
=0.18
(=6)=
=0.24 (=8)= 
=0.09
E=2×0.09+3×0.24+4×0.16+5×0.18+6×0.24+8×0.09=4.6
答：随机变量的期望是4.6.-----------------------------------------------------------13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）∵是直四棱柱，
∴
，且
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
，
即
（或其补角）是与所成的角．
连接
，在三角形
中，
，
，
∴
．
故与所成角的余弦值为
．------------------------------5分
(Ⅱ)设
，则
，又
，
，
∴
平面
．
过
作
交于
，连接
，则
，
∴
为二面角的平面角．
在
中，
，
，
，
故二面角的大小为
．------------------------------10分
（Ⅲ）在上取点，使得
，连接
，
∵
， 又
，且
，
∴
，
∴四边形
是一个正方形．
可证
，又
，
∴平面，此时
．
故当时，有平面．--------------------------------------------14分
（18）（共13分）
解：(Ⅰ)设重心
,
.
则
整理得 
(
)
将()代入中,得
所以,重心的轨迹方程为----------------------5分
(Ⅱ) ∵椭圆与抛物线有共同的焦点,由得
,
∴
椭圆方程为
.
设
,由
得 
∴
(舍).
∵
是的准线,即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点．
设点到抛物线准线的距离为
,则
．
又
,
∴
,
.
过点作
轴,垂足为
,
在
中,
,
在
中,
,
∴
,
∵
∴
.
∴
.-----------------------------------13分
（19）（共13分）
解：(Ⅰ)由水箱的底面边长为
，高为，得
，
∵
∴
又
，
∴故定义域为
︱}．--------------------------------5分
(Ⅱ) ∵
，
∴
，
令
，得
或
（舍）
若
，即
时，
|
|
|
|
|
|
| + | 0 |
|
|
|
| 最大值 |
|
∴当
时，取得最大值，且最大值为
．
若
，即
时，
，
∴在
上是增函数，
∴当
时，取得最大值，且最大值为
．
综上可知，当时，，水箱容积取最大值；
当时，，水箱容积取最大值．-------------------13分
（20）（共14分）
证明：(Ⅰ)①当
时,,又
, 
,
∴
.
②假设
时, 
成立,
当
时,有
,
∴
成立,
由假设
有
,
∴
, ∴
.
故由①, ②知,对任意
都有成立.--------------------------------7分
(Ⅱ)由于
,
,
①当
时,显然不可能使对任意成立,
②当
时, 对任意有可能成立,
当
时,
,
假设
,由
,
所以时,对任意都有成立,
所以时,,
故的最大值是
.------------------------------------------------------14分