高2007届第二轮复习质量检测试题（2007.4.10）
数 学（理科） 
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50）各题答案必需答在答题卡上。
1．已知等差数列
中，
，则
的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
2．设复数
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数
有极值的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的一个单调递减区间是 （ ）
A. 
B.
C.
D. 
5．若
，那么
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设
为互不重合的平面，l,m,n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
① 若
则
∥
；② 若
∥
∥
，则∥；
③ 若∥
则
∥； ④ 若
∥
则m∥n.
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设椭圆的中心在原点O，右焦点为F，右准线为l，如果在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过F，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若随机变量
为（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
| |
满足
, 且
时
, 则函数
的图象与函数
的图象的交点个数为
（ ）
A．16 B．18 C．20 D．无数个
10．已知M、N是
所围成的区域内的不同两点，则
的取值范围是（ ）
A．
0，2
B．0，
C．0，
D．[0，]
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 把答案填写在答题卡相应位置上.
11．若椭圆
的离心率为
，则λ等于___________
12．
的展开式的常数项是－20，则
13．设离散型随机变量
可能的取值为1、2、3、4，
（
），又的数学期望为
，则
___________
14．设集合
，映射，
满足：
，则这样的映射共有____________个
15．已知
，记
，则
_________
16．已知数列
满足：
，定义使
为整数的
叫“期盼数”，则区间
内所有的期盼数的和
三、解答题：（本大题共6小题，共76分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（13分）在△
中，角A、B、C的对边分别为
、
、
且满足
（1）求角
的大小；
（2）向量
，向量
，求·的最小值.
18．（13分）已知
为数列
的前
项和，且
，n=1,2,3…
（1）求证: 数列
为等比数列；
（2）设
，求数列
的前项和
；
19．（13分）设A、B是两个平面区域，面积分别为
、
，且
，则区域A内的随机点落在区域B内的概率
．则称这样的概率模型为几何概型. 现有两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率.
20．（13分）如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，
平面ABCD,BC//AD,AB=CD,
,
,点E,F分别在棱PD,PC上,且满足
．
（1）求证:EF//平面ABCD；
（2）当
时,求AE与平面PAC所成的角的正切值；
（3）是否存在
,使平面AEF
平面PCD?若存在,求出的值; 若不存在,说明理由.
21．（12分）已知椭圆方程为
，射线
与椭圆的交点为
过
作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于
两点（异于
）．
（1）求证: 直线
的斜率
为定值；
（2）求△
面积的最大值。
22．（12分）设
是
的一个极值点，
（1） 求与的关系式（用表示）并求
的单调区间.
（2）是否存在实数
，使得对任意
及
总有
恒成立，若存在求出的范围。若不存在，说明理由.
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | C | C | A | C | B | B | D | B | C |
二、填空题：
11. 3 12． 13．
14． 35 15． —1
16．解：
要使
为正整数，可设
17．解：（1）由
得
即
又∵
∴
∴
又
故
（2）∵又∵
∴
,
∴
≤
又∵·
∴·的最小值为
18. （Ⅰ）解：
，
.
.
是以2为公比的等比数列
（Ⅱ）
,
.
.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
n=
.
综上，
19. 解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用
表示每次试验的结果，则所有可能结果为：
；
记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为：
.
如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内两条直线
，
所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式，得到：
.
所以，两人能够会面的概率为
.
20．解：（1）证：
又
,
（2）
是等腰梯形, 又
设
,则
,
,
又平面ABCD,
,
平面
又
,
平面,
是AE与平面所成角.
又
,
是PD的中点,且
又
,在
中,
.
（3）当
时, 平面AEF平面PCD.
平面ABCD，
,
在
中,由（2）知，
，
若，则
，而
，
又
则
，即时，平面AEF平面PCD.
21．解（1）∵ 斜率 
存在，不妨设 ＞0，求出 
（
， 
）．
直线 
方程为
，直线 
方程 
分别与椭圆方程联立，可解出
，
∴ 
．
∴ 
．
（2）设直线AB方程为
，与
联立，消去y得
．
由 
>0得-4＜ 
＜4，且 ≠0，
点
到 
的距离为
．
设△
的面积为S． ∴ 
．
当
时，得
．
22．解（1）
由
得
∴
令
得
由于是的极值点，故
，即
①
当
时，
，故
为的单调增区间；
为的单调减区间。
②
当
时，
，故
为的单调增区间；
为的单调减区间。
（2）由
得
，从而知在
上单调递减，在
上单调递增，的值域为
假设存在实数满足题设，依题意有：
恒成立，即
恒成立，
令
，则有
，解得
，即
注：[也可通过分离变量求解（从略）] 故存在实数
满足题设。