珠海市2006-2007学年度第一学期期末中学教学质量调研监测
高三数学（文科）试题
2007．1
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。 满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：
圆锥表面积公式：
（r为底面半径，l为母线长）
三棱锥体积公式：
（S为底面面积，h为高）
导数公式：
，
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题10个小题，每题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．
是
的
（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
2. 一容量为20的样本，其频率分布直方图如右，
则样本在
上的概率为
（A）0.75 （B）0.65
（C）0.8 （D）0.9
3. 如右图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的
等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，
那么这个几何体的全面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．
函数
的图象的大致形状是
 | | | |
（A） （B） （C） （D）
5. 在下面的程序框图中，输出的数
（A）25
（B）30
（C）55
（D）91
6. 点
和点
在直线
两侧，则
的范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
7. 
的最小正周期和最小值为
（A），0
（B）2，0
（C），
（D）2，
8．直线
与圆
交于
二点，则
的面积为
（A）3
（B）
（C）
（D）
9．
，若
，则
夹角为
（A）
（B）
（C）
（D）
10．对任意实数
，定义运算
为：
，则
的值域是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，其中第11-13题为必做题，每题5分，共15分；第14-15题为选做题，从中选做1题，每题5分，共5分。
11．
在
处的导数值是___________．
12．已知f (x)是定义在实数集R上的函数，且满足
，
，
则f (2007)=___________．
13．已知等式
，
，……，请你
写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式（不要求证明），那么这个
等式是：____________________________________________．
选做题：从以下2个小题中选做1题（只能做其中1题，做2个的，按得分最低的一道记分）．
14．（几何证明选讲选做题）从不在⊙O上的一点A作直线交⊙O于B、C两点，且AB·AC=60，
OA=8，则⊙O的半径等于____________．
15．（坐标系与参数方程选做题）点P(－3，0)到曲线
上的点的最短
距离为__________．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程．
16．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．(1)若从口袋中随机地摸出一个球，求恰好是白球的概率；(2)若从口袋中一次随机地摸出两个球，求恰好都是白球的概率．
17．（本小题满分12分）在
中，三边长分别为
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
18．（本小题满分14分） 如图，在棱长为2的正方体
中，
、
分别为
、
的中点．
（1）求证：
//平面
；
（2）求证：
；
（3）求三棱锥
的体积．
19．（本小题满分14分）已知函数
的图象关于原点对称，且当
时，
．
（1）求a，b，c的值；
（2）当
时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．
20．（本小题满分14分）已知中心在原点、焦点在
轴上的椭圆的离心率是
，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．(1)求椭圆标准方程；(2)设椭圆长轴的左端点为
，
是椭圆上且位于第一象限的任意一点，
，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：
．
21.（本小题满分14分）已知数列
的每一项都是正数，满足
且
；等差数列
的前
项和为
，
，
．
（1）求数列、的通项公式；
（2）比较
与2的大小；
（3）若
恒成立，求整数
的最小值．
珠海市2006-2007学年度第一学期期末中学教学质量调研监测
高三数学（文科）参考答案及评分标准
第一部分 选择题（共50分）
二、选择题：本大题10个小题，每题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | B | B | B | C | B | C | D | D | B |
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，其中第11-13题为必做题，每题5分，共15分；第14-15题为选做题，从中选做1题，每题5分，共5分。
11．
12．8 13．
(n换成其它字母也对)
选做题：从以下两个小题中选做一题（只能做其中一题，做两个的，按得分最低的一道记分）．
14．（几何证明选讲选做题）2或
15．（坐标系与参数方程选做题）3
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程．
16．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．(1)若从口袋中随机地摸出一个球，求恰好是白球的概率；(2)若从口袋中一次随机地摸出两个球，求恰好都是白球的概率．
解：（1）用a、b、c、d、e分别表示五个球，其中a、b表示两个白球，c、d、e表示三个黑球．现从口袋中随机地摸出一个球，其基本事件有以下五种：
{a}，{b}，{c}，{d}，{e}；…(2分)
设恰好是白球的事件为A,其中A包括两个基本事件：{a}，{b}．…(4分)
A事件的概率P（A）=
．…(5分)
答：若从口袋中随机地摸出一个球，恰好是白球的概率为．…(6分)
（2）若从口袋中一次随机地摸出两个球，其基本事件有以下十种：
{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，d}，{c，d}，{c，e}，{d，e}；
…(8分)
设恰好都是白球的事件为B，它包括的基本事件有一个：{a，b}．…(10分)
B事件的概率P（B）=
．…(11分)
答：若从口袋中一次随机地摸出两个球，恰好都是白球的概率为．…(12分)
17．（本小题满分12分）在中，三边长分别为．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）
…(1分)
…(3分)
…(5分)
（2）.
为三角形内角,
…(6分)
原式
=
…(10分)
…(11分)
…(12分)
18.（本小题满分14分） 如图，在棱长为2的正方体中，
、分别为、的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．
解：
（1）连接
，已知、分别为、的中点．
EF是三角形BD1D的中位线，\EF//BD1；…(3分)
又
，
，\EF//面BD1C1…(5分)
（2）连接、BC1，
正方体中，D1C1^面BCC1B1，BC1Ì面BCC1B1，所以D1C1^ B1C…(6分)
在正方形BCCB中，两对角线互相垂直，即BC1^B1C，…(7分)
D1C1 、BC1Ì面BC1D1，所以B1C^面BC1D1…(8分)
BD1Ì面BC1D1，所以有B1C^ BD1，…(9分)
在（1）已证：EF//BD1，所以EF^B1C．…(10分)
（3）连接B1D1，在各直角三角形中，计算得：
EB1=3，EF=，FB1=
，FC=
，B1C=
， …(12分)
…(14分)
19. （本小题满分14分）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．
（1）求a，b，c的值；
（2）当时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．
解：（1）依题意，对任意实数x都有：
，
可得：
,b=0；…(2分) 
…(3分)
又当时，
，
所以：
，
．…(5分)
解得：
，故 
．…(6分)
（2）当时，图象上不存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直．
假设当时，图象存在两点
，使得在这两点处的切线互相垂直．设这两条切线的斜率分别为
和
,则有
.…(8分)
则由
知这两点处的切线的斜率分别为：
，且
…(10分)
这与（*）相矛盾，故假设不成立．…(13分)
所以当时，图象上不存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直．…(14分)
20．（本小题满分14分）已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆的离心率是，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．(1)求椭圆标准方程；(2)设椭圆长轴的左端点为，是
椭圆上且位于第一象限的任意一点，，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：．
解：（1）根据题设，可设椭圆标准方程为：
…(１分)
则离心率
，由椭圆定义，得
…(２分)
解得
，
…(３分)
所以椭圆标准方程为：
…(４分)
（2）由题意得
，设
，
，
，其中
，
点Ｐ和点Ｂ都在椭圆上，则有
， （１）
（２） …(5分)
由，有
，即
， （３）…(６分)
由可知
．
ＡＢ直线方程为：
把代入，得
…(７分)
所以有
，
，
，
可得：
（４）…(８分)
（５）…(９分)
由（１），（２），（３）得：
（６）…(１０分)
由（１），（５）得：
（７）…(１１分)
由（２），（４）得：
（８）…(１２分)
由（７），（６）得：
（９）…(１３分)
由（８），（９）可证得：．…(１４分)
21.（本小题满分14分）已知数列的每一项都是正数，满足且；等差数列的前项和为，，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）比较与2的大小；
（3）若恒成立，求整数的最小值．
（1）由有，
，…(２分)
由于数列的每一项都是正数，
…(３分)
设
，由已知有
，…(４分)
解得
…(5分)
（2）当
时，
…(６分)
当
时，
…(８分)
…(１０分)
（3）记
…(１１分)
所以 
两式相减得 
…(１２分)
递增，
最小的整数
…(１４分)