上海市七宝中学2007学年度第一学期期中考试
高三数学试卷 (理)
| 题号 | 1—11 | 12—15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 总分 |
| 得分 |
一、填空题(每题4分，共44分)
1、方程 
的解是 ．
2、若
若
，则
。
3、已知
为
上的减函数，则满足
的实数
的取值范围是
。
4、已知集合
，
．若
，则实数
的取值范围是 ．
5、若数列
的前
项和
，数列
中数值最小的项是第
项．
6、已知
为常数） 
，则
。
7、已知
，
，
成等差数列，
成等比数列，则
的最小值是
。
8、已知数列对于任意
，有
，若
，则
。
9、命题“对任意的
，
”的否命题是：
。
10、若函数
的定义域为，则的取值范围为_____ ．
11、记数列
前项的积为πn = a1a2 … an，设
=π1π2 …πn.若数列
，为正整数，则使最大的的值为 。
二、选择题(每题4分，共16分)
12、已知函数
，
的定义域分别为
。则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
13、 若函数的反函数为
，则函数
与
的图象可能是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
14、 若数列
满足
（
为正常数，
），则称为“等方比数列”．
甲：数列是等方比数列； 乙：数列是等比数列，则（
）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件；B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件； D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
15、定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，
是它的一个正周期．若将方程
在闭区间
上的根的个数记为，则可能为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
三、解答题：
16、（满分12分）解不等式组：
17、（满分12分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
（毫克）与时间
（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为
（为常数），如图所示。试求：
（I）从药物释放开始，写出每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到
毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，试问至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
18、（满分14分）已知
（1）当
，
为常数时，求的最小值，并指出取到最小值时的值；
（2）当
时，且对任意的，都有
都成立，试求的取值范围。
19、（满分14分）设函数
的定义域为
，若命题
与命题
有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。
20、（满分18分）已知数列的首项
为常数），前项和
恒为正值，且当
时，
（1）证明
是等比数列；（6分）
（2）求的通项公式；（4分）
（3）试比较
与
的大小，并给出证明。（8分）
21、（满分18分）已知定义域为
的函数同时满足以下三条：（1）对任意的
，总有
（2）
；（3）若
则有
成立。解答下列各题：
（Ⅰ）求
的值；（4分）
（Ⅱ）函数
在区间上是否同时适合（1），（2），（3）？并给出证明；（6分）
（Ⅲ）假定存在
使得
且
试求出
的解析式，并说明理由。（8分）
上海市七宝中学2007学年度第一学期期中考试
高三数学试卷参考答案 (理)
一、填空题
1、
；2、
； 3、
；4、
；5、
项；
6、1；7、4；8、
； 9、存在
，使
；10、
；11、（理）22（文） 11；
二、选择题
12、（C）13（A ）14（B）15（D）
三、解答题：
16、解：由
得；由
，分类讨论得
；
所以原不等式的解：。
17、解：（1）依题意，两函数都经过点
，药物释放过程中，
，药物释放完毕后，
，所以
；
（2）当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，由
18、解：（1）
，当且仅当
时取等号；
（2）由题意得：
，所以
19、解：设由题意得：当
，则有
；当，则有
；若
真
假，则
；若假真，则
；
故：
20、解：（1）当时，
化简得：
又由
可求得
当时，
恒成立.
而恒为正值，故是等比数列，公比为a.
当时，恒成立，
而恒为正值，故是等比数列，公比为a。
（2）
（3）当n=1时，
当时，
恒为正值，
且
若0<a<1,则
若
时，则
总之，当n=1时，则
当时，若0<a<1时，则
若a>1,
21、（理）解：（Ⅰ）取
得
又由
故
.
（Ⅱ）显然
在上满足
.
若
则
故
适合（1）（2）（3）
（Ⅲ）猜想
。由（3）知任给
时
事实上，
知
若
，则
前后矛盾；
若
，则
前后矛盾；
故
21、（文）解：（1）函数
满足
，可得
或
；
又
，所以.
（2）因为，所以
，由题意只需研究在
上的单调性，该函数在区间
内为单调递增函数.
证明：任取
，有
由于，
，
，
，
，即
.
故函数
在区间为增函数.
（3）原方程即为
----①
显然，
恒为方程的1个解；
当
时，①式等价于：
，
所以，当
，即当
时方程在区间
有1个解，此外无解；
当且
时，①式等价于：
由
或
.所以，当
时，
原方程在区间
有1个实数解，此外无解.
所以当时，有三个解。