福建省福州三中2007—2008学年高三第三次月考
数学试题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。
注意事项：
（1）答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
（2）每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
第I卷（选择题共60分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的反函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
那么复数z对应的点位于复平面内的 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数
的图象的大致形状是 （ ）
A． B． C． D．
6．若
的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数
的图象上A点处的切线与直线
的夹角为45°，则A点的横坐标为 （ ）
A．0 B．1 C．0或
D．1或
8．不等式
的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．二次函数
则实数a的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．或
|
，又
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．或
11．已知
是R上的奇函数，对
都有
成立，若
， 则
等于 （ ）
A．
B． C． D．
12．已知是定义在
上的奇函数，其图象关于
对称且
，则方程
在
内解的个数的最小值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．函数
的值域是__________________。
14．若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是________________。
15．函数
的图象与
轴有两个交点，则实数的取值范围是______________________。
16．有两个命题：（1）不等式
的解集是；(2)函数
是减函数。如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数
的取值范围是________________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知函数
（
为自然对数的底）。
（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；
（Ⅱ）求曲线
在点
处的切线方程。
18．（本小题满分12分）解关于的不等式
，并求当不等式的解集为
时的值。
19．（本小题满分12分）设函数
.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间
的最大值和最小值。
20．（本小题满分12分）
| 计划 | 计划 | |
| 每月的基本服务费 | 10元 | 20元 |
| 免费上网时间 | 首用10小时 | 首用40小时 |
| 以后每小时收费 | 0．5元 | 0．5元 |
某学校网络中心为配合开展研究性学习，便于大家上网查阅有关的资料，决定在平时实施有偿开放。为满足同学们的不同需求，设有如下的优惠计划，供您选择；
（Ⅰ）分别将
计划的费用
表示成时间
的函数；
（Ⅱ）当上网时间多少时，选择计划
相对于计划
少花钱，最多能少花多少钱？
21．（本小题满分12分）
在数列
中，
，前
项和
构成公比为
的等比数列.
（Ⅰ）求证：数列不是等比数列；
（Ⅱ）设
，求
。
22．（本小题满分14分）
已知
，点
.
（Ⅰ）若
,求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数的导函数
满足：当
时，有
恒成立，求函数 的解析表达式；
（Ⅲ）若
，函数在
和
处取得极值，且
，证明：
与
不可能垂直。
福建省福州三中2007—2008学年高三第三次月考
数学试题（理科）参考答案
一、选择题：每小题5分，共60分。
1.C 2.D 3.C 4.C 5.D 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.B 12.D
|
13．
14．
15．
16．
|
17．解：
（Ⅰ）令
得
，即函数的单调递减区间为
（Ⅱ）∵
∴所求切线方程为
，即
18．解：原不等式可化为：
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
又由
和得
故当时，原不等式的解集为
19．解：的定义域为
，
（I）当
及
时，
；当
时，
在区间
和
单调递增，在区间
单调递减
（II）由（Ⅰ）知在区间的最小值为
（可列表）又
所以在区间的最大值为
20．（I）依题意，得计划A：
…………… 4分
计划B：
…………………… 8分
（II）由10＋0.5(t-10)=20+0.5(t-40)，得t=30，即上网30小时时，计划A和计划B的费用相等，以后选择计划B比计划A最多少花5元。 …………………… 12分
21．证明：（I）由已知S1=a1=b ∵{Sn}成等比数列，且公比为q
∴Sn=bqn－1，∴Sn－1=b·qn－2(n≥2)
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=bqn－1－bqn－2=b·(q－1)·qn－2 ……………………………2分
故当q≠1时，
=
=q
而
=
=q－1≠q，∴{an}不是等比数列。 ……………………………4分
当q=1，n≥2时，an=0，所以{an}也不是等比数列
综上所述，{an}不是等比数列。 …………………………… 6分
解：（II）∵q<1，由（1）知n≥2，a2,a3,a4，…，an构成公比为q的等比数列
∴a2S2,a3S3,…,anSn是公比为q2的等比数列。 ……………………………8分
∴bn=b2+a2S2·(1+q2+q4+…+q2n－4)
∵S2=bq,a2=S2－S1=bq－b
∴a2S2=b2q(q－1)
∴bn=b2+b2q(q－1)·
…………………………… 10分
∵q<1 ∴q2n－2=0
∴bn=b2+b2q(q－1)·
=
…………………………… 12分
22．解：(Ⅰ) 
, 
令
得
，解得
故的增区间
和
（Ⅱ）
(x)=
当x∈[-1，1]时，恒有(x)≤.
………………………4分
故有
≤(1)≤，≤(-1)≤，
及≤(0)≤, ………………………5分
即
………………………6分
①+②，得
≤
≤， ………………………8分
又由③，得=，将上式代回①和②，得
故
. ………………………9分
（Ⅲ）假设⊥，
即
=
………………………10分
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1
[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1, ………………………11分
由s，t为(x)=0的两根可得，s+t=
(a+b), st=
, (0<a<b)
从而有ab(a-b)2=9. ………………………12分
这样
即 
≥2
，这与<2矛盾. ………………………13分
故与不可能垂直. ………………………14分