邵阳县一中高三第三次月考数学试题2007．11
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案填在题后的括号内.
1． 一个等差数列共n项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n为（ ）
A.14 B.16 C.18 D.20
2. .函数
在下列哪个区间上是减函数
（ ）
A.
B.
C.
D.
3．设
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．数列{an}的通项式
，则数列{an}中的最大项是 （ ）
A、第9项 B、第8项和第9项
C、第10项 D、第9项和第10项
5．集合A、B都是锐角，且
,则A+B的范围是 （ ）
A．（0，
）；
B.（
） C.（0，
）
D.（，）
6．已知奇函数
单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（
）
A、f(cosα)＞ f(cosβ) B、f(sinα)＞ f(sinβ)
C、f(sinα)＜f(cosβ) ； D、f(sinα)＞ f(cosβ)
7．已知函数
的图象如下图所示，则函数的
解析式为 （
）
(A)
(B)
(C)
(D) 
8.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6=b7,则有（ ）
9. 已知函数
在区间
上的最小值是
，则
的最小值等于 （ ）
A．
B.
C.2 D.3
10．曲线
在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，……，则P2P4等于 （ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上
11． 已知
，
，则
.
12、把y= sinx的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，再把所得图象向左平移 个单位，得到函数 的图象
13．在等比数列
中，已知
，则
的值为
14．在数列
中，已知
，那么使其前
项和
取最大值时的值等于
15．已知函数
的图象与函数g（x）的图象关于直线
对称，令
则关于函数
有下列命题
①的图象关于原点对称； ②为偶函数；
③的最小值为0； ④在（0，1）上为减函数.
其中正确命题的序号为 （注：将所有正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）设数列
的前项和为
，且
；数列
为等差数列，且
，
.
（I）求数列的通项公式；
(II)若
，
为数列
的前项和. 求证：
.
17．（本小题满分12分）
设向量
，其中
.
（I）求
的取值范围；
（II）若函数
的大小
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，
分别为角A，B，C的对边，且成等比数列．
(I)求∠B的范围；
(II)求
的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数
.
（I）若
，求函数
的值； （II）求函数的值域.
20．（本题满分13分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率
与日产量
（万件）之间大体满足关系：
（其中
为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如
表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额
（万元）表示为日产量（万件）的函数
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
21．（本小题满分14分）已知函数
当
时，
的值域为[
]，当
[
]时，的值域为[
]，…，当
时，的值域为
，其中a，b为常数，
，
。（I）
时，求数列与
的通项；（II）设
且
，若数列是公比不为1的等比数列，求b的值；（III）若，设与的前n项和分别记为与
，
求：
的值。
附： 参考答案及评分标准
一、选择题
1~5 C C D D A 6~10 C B B B A
二、填空题：
11. -24/7 12. y= sin(x + ) 13. 
14.12 15. ②③
三、解答题：
16. 解：（1）由
，令
，则
，又
，所以
.
，则
. ………………2分
当
时，由，可得
.
即
.
所以是以为首项，
为公比的等比数列，于是
. ………………4分
（2）数列为等差数列，公差
,可得
.…………6分
从而
. ………………8分
∴
…………10分
∴
.
从而
.
………………12分
17.解：（I）∵
………（2分）
∴
，
………（4分）
∵
，∴
∴
，∴
。
……… （6分）
（II）∵
，
， ………………（8分）
∴
， ……… ………（10分）
∵，∴，∴
，
∴
。
………………12分
18。解：(I)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac．
根据余弦定理，得cosB＝＝≥＝．
又因为0＜B＜，所以0＜B≤．所以∠B的范围是(0，]．………6分
(II)y＝2sin2B＋sin(2B＋)＝1－cos2B＋sin2Bcos＋cos2Bsin
＝1＋sin2Bcos－cos2Bsin＝1＋sin(2B－)．
因为0＜B≤，所以－＜2B－≤，所以－＜sin(2B－)≤1，所以＜y≤2．
所以y＝2sin2B＋sin(2B＋)的取值范围是(，2]．
19. [解]（1）
，……2分
……4分
………… 6分
.
…………8分
（2）
，
…………10分
， 
， 
，
函数的值域为
.
…………12分
20．解：（1）当
时，
，
……………………（2分）
当
时，
，
综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：
…………………………………………………………（4分）
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0……………………………（6分）
当时，
当且仅当
时取等号
所以
当
时，
，此时……………………………（8分）
当
时，由
知
函数在
上递增，
，此时
……（10分）
综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若，则当日产量为万件时，可获得最大利润…………（12分）
21解：（I）解：
函数
在R上是增函数，
数列
与
都是公差为b的等差数列。…………2分
…………4分
（II）解：
；由是等比数列，知
应为常数.
又
是公比不为1的等比数列，则
不是常数，必有
………………6分
（III）解：
两式相减，
得
数列
是公比为a的等比数列
………………8分
………………12分
……………………14分