2007-2008学年度高三全程基础适应性训练试卷
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
参考公式：Pn（k）=CnkPk（1—P）n-k
如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式
P（A＋B）=P（A）十P（B） S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P， V＝πR3
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝R，集合A＝(1，＋∞)，集合B＝(－∞，2)。则
U(A∩B)＝
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，1)∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
2．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4项的系数是首项为－2、公差为3的等差数列{an}的第k项，则k＝
A．22 B．19 C．20 D．21
3．已知数列{an}，如果a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则an＝
A．(1－) B．(1－) C．(1－) D．(1－)
4．在边长为1的正△ABC中，若
，
，
，则
·
＋·
＋·＝
A． B．－ C．3 D．0
5．已知集合A＝{f(x)f(x+1)＝－f(x)，x∈R}，B＝{f(x)f(x+2)＝－f(－x)，x∈R}，若f(x)＝sinpx，则
A．f(x)∈A但f(x)
B B．f(x)∈A且f(x)∈B
C．f(x) A但f(x)∈B D．f(x) A且f(x)B
6．有3个相识的人某天乘同一火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在同一节车厢相遇的概率是
A． B． C． D．
7．把点(3，4)按向量平移后的坐标为(－2，1)，则y＝2x的图象按向量平移后的图象的函数表达式为
A．y＝2x－5＋3 B．y＝2x－5－3 C．y＝2x＋5＋3 D．y＝2x＋5－3
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D上且A1E＝2ED，点F在AC上且CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是
A．相交不垂直 B．相交垂直
C．平行 D．异面
9．椭圆上一点A看两焦点的视角为直角，设AF1的延长线交椭圆于B，又AB＝AF2，则椭圆的离心率e＝
A．－2＋2 B．
C． D．
10．直角三角形ABC的斜边AB＝2，内切圆半径为r，则r的最大值是
A． B．1 C． D．
11．如图，直线Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的右下方有一点(m，n)，则Am+Bn＋C的值
A．与A同号，与B同号 B．与A同号，与B异号
C．与A异号，与B同号 D．与A异号，与B异号
12．设方程2x＋x＋2＝0和方程log2x＋x＋2＝0的根分别为p和q，函数f(x)＝(x＋p)(x＋q)+2，则
A．f(2)＝f(0)<f(3) B．f(0)<f(2)<f(3) C．f(3)<f(0)＝f(2) D．f(0)<f(3)<f(2)
第II卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．等差数列{an}中，a1＝，前n项和为Sn，且S3＝S12。则a8＝_________.
14．对于－1<a<1，使不等式()
<()2x+a－1成立的x的取值范围是_________.
15．正三棱锥P－ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是____________.
16．给出下列图象
其中可能为函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)的图象的是_____．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）（理）已知复数z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin，q∈[0，]。
⑴求z1＋z2；
⑵设f(q)＝cos2q－2xz1＋z2(x∈R)的最小值为g(x)，求g(x)的表达式。
(文)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象在点(1，f(1))处切线的斜率为0。
⑴求a，b的关系式；
⑵若f(x)在R上是增函数，求a，b的值．
18．（本题满分12分）如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使BC＝t(t>0)，连AC交BE于D点．
⑴用t表示向量
和
的坐标；
⑵(理)求向量和
的夹角的大小。
(文)当＝
时，求向量和的夹角的大小。
19．（本题满分12分）一条直角走廊宽1.5米，如图所示，现有一转动灵活的手推车，其平板面的矩形宽为1米，问要想顺利推过直角走廊，平板车的长度不能超过多少米？
20．(本题满分12分）如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F．
⑴求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；
⑵求直线AA1到平面B1BCC1的距离；
⑶当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等．
21．(本题满分l2分)设an＝1＋q＋q2＋…＋qn－1(n∈N＋，q≠±1)，An＝
a1＋
a2＋…＋
an
⑴用q和n表示An；
⑵当－3<q<1时，求
的值；
⑶又设b1＋b2＋…＋bn＝，求证数列{bn}是等比数列。
（文科只做⑴⑶，理科全做）
22.(本题满分14分)(理)已知函数f(x)＝x·ax－1(a>0，x∈R) ．
⑴当a>1时，求f(x)的单调区间和值域，并证明方程f(x)＝0有唯一根；
⑵当0<a≤1时，讨论方程f(x)＝0的实根的个数情况，并说明理由。
(文)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且倾角为30°的直线l与双曲线的左、右两支分别相交于A、B两点。设AF＝lBF，若2≤l≤3，求双曲线C的离心率e的取值范围．
参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | C | A | B | B | B | D | C | B | D | B | A |
二、填空题13．0 14．x≤0或x≥2 15．3 16．①③
三、解答题17．（12分）解：（理）⑴z1＋z2＝(cos＋cos)＋i(sin－sin)
＝＝
＝＝2cosq ………………………………………………………………4分
∵q∈[0，]，∴cosq≥0，故z1＋z2＝2cosq。……………………………………5分
⑵f(q)＝cos2q－2x·2cosq＝2cos2q－4x·cosq－1＝2(cosq－x)2－2x2－1……7分
∵q∈[0，]，∴cosq∈[0，1]
若0≤x≤1，则当cosq＝x时，f(q)有最小值－2x2－1，即g(x)＝－2x2－1；……8分
若x<0，则当cosq＝0时，f(q)有最小值－1，即g(x)＝－1；……………………9分
若x>1，则当cosq＝1时，f(q)有最小值1－4x，即g(x)＝1－4x。………………10分
∴g(x)＝
……………………………………………………12分
(文)⑴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b………………………………………………………………4分
由f ′(1)＝0得3＋2a＋b＝0 ∴2a＋b＋3＝0…………………………………………6分
由条件f ′(x)≥0对x∈R恒成立，即3x2＋2ax＋b≥0对x∈R成立，而2a＋b＋3＝0…8分
∴△≤0得(a＋3)2≤0……………………………………………………………………10分
∴a＝－3，b＝3…………………………………………………………………………12分
18．解：⑴
＝((t+1)，－(t+1))，………………………………………………2分
∵
＝t
，∴
＝t
，＝
，又
＝(，)，
＝－＝(t，－(t+2))；∴＝(，－)，………………4分
∴
＝(，－)………………………………………………6分
⑵（理）∵
＝(，－)，
∴
·
＝·＋·＝………………………………8分
又∵·＝·＝…………………………10分
∴cos<,>＝＝，∴向量与的夹角为60°。……12分
（文）由已知t＝，∴＝(，－)，＝(－，－)
∴·＝－＋＝……………………………………………………………8分
又∵＝，＝＝………………………………………………10分
∴cos<,>＝＝，∴向量与的夹角为60°。………………12分
19．（12分）解：如图，延长AB交直角走廊于A1、B1，设∠CDE1＝q，则∠B1A1E1＝q，q∈(0，)，
∵CD＝AB＝A1B1－AA1－BB1，而A1B1＝1.5(＋)，AA1＝cotq，BB1＝tanq，
∴CD＝1.5(＋)―cotq―tanq＝…6分
令sinq＋cosq＝t，则t∈(1，]。令f(t)＝＝………………………10分
则当t＝时，两项均取得最小值，即q＝时，f(t)min＝3－2
即CDmin＝3－2，故平板车的长度不能超过3－2米……………………………12分
20．(12分)⑴CC1∥BB1，又BB1⊥A1E，∴CC1⊥A1E，而CC1⊥A1F，∴CC1⊥平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1………………………………………………………………2分
⑵作A1H⊥EF于H，则A1H⊥面B1BCC1，∴A1H为A1到面B1BCC1的距离，在△A1EF中，A1E＝A1F＝，EF＝2，∴△A1EF为等腰Rt△且EF为斜边，∴A1H为斜边上中线，可得A1H＝EF＝1…………………………………………………………………………8分
⑶作A1G⊥面ABC于G，连AG，则A1G就是A1到面ABC的距离，且AG是∠BAC的角平分线，A1G＝1…………………………………………………………………………10分
∵cos∠A1AG＝，∴sin∠A1AG＝，∴A1A＝＝1……………………12分
21．(12分)解：⑴∵q≠1，∴an＝………………………………………………文2分
∴An＝＋＋…＋
＝[(＋＋…＋)－(q＋q2＋…＋qn)]
＝[(
＋＋…＋)－(＋q＋q2＋…＋qn)]…………………文5分
＝[2n－(1＋q)n](q≠1) ………………………………………………理4分 文6分
⑵＝[1－]，∵－3<q<1，∴<1，∴＝…………理6分
⑶∵b1＋b2＋…＋bn＝＝[1－]，
∴b1＋b2＋…＋bn－1＝[1－－1]
∴bn＝－1·(－＋1)＝·－1(n≥2) ……………………………10分
当n＝1时，b1＝＝适合上式，∴bn＝－1(n∈N＋) ………………………11分
∴≠0(∵q≠－1)，∴数列{bn}是等比数列。………………………………12分
22．(14分)解：(理)⑴f ′(x)＝ax＋x·axlna＝(1＋xlna)ax(a>1)…………①
由f ′(x)>0得1＋xlna>0，解得x>－；由f ′(x)<0得1＋xlna<0，解得x<－
∴f(x)的单调增区间为(－，＋∞)，单调减区间为(－∞，－)…………………2分
当x＝－时，f(x)min＝f(－)＝－·a－－1＝－·－1＝－－1，
又
f(x)＝－1，
f(x)＝＋∞，∴f(x)的值域为[－－1，＋∞)……………4分
又∵f(0)＝－1<0，f(x)＝＋∞，又f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴方程f(x)＝0在[0，＋∞)上有唯一实根………………………………………………6分
而f(x)＝－1<0，∴方程f(x)＝0在(－∞，0)上无实根
∴方程f(x)＝0有唯一实根，y＝f(x)在(－∞，0)上函数值y均小于0………………7分
⑵∵函数f(x)为偶函数，故只需讨论x≥0时，方程f(x)＝0亦可求f(x)＝0的实根的个数。
Ⅰ.当a＝1时，方程f(x)＝0有唯一实根x＝1；………………………………………8分
Ⅱ.当0<a<1时，由①式，同理可知x≥0时，f(x)的单调增区间为(0，－)，单调减区间为(－，＋∞)。当x＝－时，f(x)max＝－－1，……………………………9分
又∵f(0)＝－1<0，f(x)＝－1，故有
当－－1<0即0<a<
时，方程f(x)＝0无实根；
当－－1＝0即a＝时，方程f(x)＝0有唯一实根；
当－－1>0即<a<1时，方程f(x)＝0有两个实根；…………………………12分
综上可知：
当0<a<时，方程f(x)＝0无实根；
当a＝或1时，方程f(x)＝0有两个实根；
当<a<1时，方程f
(x)＝0有四个实根。…………………………………………14分
(文)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AF＝lBF，又B在AF上，∴
＝l
，
∴(c－x1，－y1)＝l(c－x2，－y2)，∴y1＝ly2，…………①
把l的方程：y＝(x－c)即x=y+c代入－＝1中，
整理得(3b2－a2)y2＋2b2cy+b4＝0，…………………………………………4分
∴y1+y2＝…………②，y1y2＝…………③…………………7分
把①代入②、③得
∴(1+l)y2＝…………④，ly22＝…………⑤
④2/⑤消去y2得＝＝＝………………………9分
设f(l)＝＝l＋＋2(2≤l≤3)，易知f(l)在区间[2，3]上递增，
∴f(2)≤f(l)≤f(3)即≤f(l)≤，………………………………………………11分
∴≤≤解得≤e2≤12即≤e≤2
∴双曲线C的离心率e的取值范围为[，2]。……………………14分