2007—2008学年度宁县一中高三年级阶段测试
理 科 数 学 试 题
说明：本试卷共分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。卷面满分为150分，考试时间为120分钟。所有试题的答案一律要写试题的第二卷上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列各数中，与
的值最接近的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知命题p：
，若﹁p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
，其中
、
均为非零向量，则
的取值范围是 （ ）
A．
B．[0，1] C．
D．[0，2]
4．（理科）由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1 =
2，当
时，
，则b5等于 （ ）
A．63 B．33 C．17 D．15
5．同时具有性质“（1）最小正周期是π；（2）图象关于直线
对称；（3）在
上是增函数”的一个函数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．对一切实数x，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．[－2，2] D．
7．关于x的方程
给出下列四个命题 （ ）
①存在实数k，使得方程恰有1个零根；
②存在实数k，使得方程恰有1个正根
③存在实数k，使得方程恰有1个正根、一个负根
④存在实数k，使得方程没有实根，其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知
是定义在R的奇函数，当
时，
，那么
的值为 （ ）
A．2 B．3 C．－3 D．－2
9．（理科）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，
| |
，
，则a +
c的最大值为 （ ）
A．2 B．
C．4 D．
10．
（理科）已知函数在R上可导，且
，则
的大小关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
11．如果函数
在区间上是增函数，那么实数a的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．（理科）设函数
的最大值与最小值分别为M，N则（ ）
A．M－N = 4 B．M + N = 4 C．M－N = 2 D．M + N = 2
请将 选择题 答案填入下表
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 选项 |
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数
的值为
.
14．把一个函数图象按向量
平移后，得到的图象的表达式为
，则原函数的解析式为
.
15．在等差数列{an}中，
为首项，
是其前n项的和，将
整理为
后可知：点
（n为正整数）都在直线
上，类似地，若{an}是首项为，公比为
的等比数列，则点
（n为正整数）在直线
上.
| |
满足条件：
，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于的命题：①是周期函数；②的图象关于直线x=1对称；
③在[0，1]上是增函数；④在[1，2]上是减函数；⑤
其中正确的命题序号是
.（注：把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知
，
（1）求y关于x的函数解析式
，并求其最小正周期
；
（2）当
时,的最大值为5.求a的值及函数
的单调递增区间.
18．（本小题共12分）
已知关于x的不等式
的解集为A，且
，求实数a的取值范围.
19．（本小题满分12分）
在等比数列{an}中，
，公比
，且
，又a3与a5的等比中项为2，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设
，数列{bn}的前n项和Sn，当
最大时，求n的值.
20．（本小题共12分）
某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计处销量Q（万吨）与广告费x（万元）之间的函数关系为
，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万吨此产品仍需再投入32万元，若每件售价为：“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等.
（1）试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
21．（本题满分12分）
（理科）已知函数
处的切线方程为
，
（Ⅰ）若函数
时有极值，求f (x)的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下,若函数
上的值域为
，求m的取值范围；
（Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求b的取值范围.
22．（本题满分12分）
（理科）已知函数
（1）若函数在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数的图象在
处的切线的斜率为0，且
，已知
，求证：
；
（3）在（2）条件下，试比较
的大小，并说明你的理由.
参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | B | D | AC | C | B | D | B | BA | AC | B | AD |
二、填空题
13．
14．
15．
16．①、②、⑤
三、解答题
17．（1）
………………………………………3分
周期
………………………………5分
（2）
当a = 0，不合题意 ………………………………………………………………6分
若
最大值为
，
此时
，单调递增区间为
（9分）
若
的最大值为
此时
，单调增区间为
18．解：由
……………………………………… 2分
当a = 0时，原不等式的解集
的子集. …………… 4分
当
（1）当
，此时，不等式的解集
……………………………………………………6分
（2）当
； ……………………………………8分
（3）当不等式解集
的子集 ………………10分
（4）当
，此时，不等式的解集
的子集，综上
…………………………………………………………………12分
19．解：（1）
，
又
……………………………………………………2分
又
的等比中项为2，
而
………………………………4分
……………………………6分
（2）
为首项，－1为公差的等差数列
…………………………9分
；当
；当
最大. …………………………12分
20．解：（1）年成本为(32Q +3)万元，年收入为(32Q +3)·150% + x·150%万元，
年利润W = 年收入－年成本－广告费
当x = 100时，
………………………………………………6分
（2）由
万元
当且仅当
，即x =
7时，W有最大值42. ………………………………11分
答：所求函数关系式为：
；
当投入100万元广告费时，企业将亏损
万元； …………………………………12分
当年广告费投入7万元时，可获最大利润42万元.
21．（文科）解：（1）
的图象有与x轴平行的切线，
有实数解
，
所以a有取值范围是
………………………………… 4分
（2）
， …………………………………… 6分
，由
；
由
的单调递增区间是
；单调减区间为
…………8分
由上知，在[－1，0]上的最大值
，最小值
…………………10分
，恒有
……12分
（理科）解：由
求异得
，在x =
1处的切线方程为
由已知切线方程为
所以：
时有极值，故
………（3）
由（1）（2）（3）相联立解得
………3分
（2）
| x | －2 |
|
|
|
|
| 0 | － | 0 | + |
|
| 13 |
| 极小 |
|
当
，令
，由题意得m的取值范围为
…………7分
（3）在区间[－2，1]上单调递增
又，由（1）知
依题意
在[－2，1]上恒有
在[－2，1]上恒成立，
①在
时，
②在
③在
综合上述讨论可知，所求参数b取值范围是：
………………………………12分
22．（文科）解：（Ⅰ）
所以数列{an}的通项公式为
……………………………4分
（Ⅱ）
所以
整理得
…………………………………………………………… 8分
只需比较
的大小，进而比较
的大小…………………10分
当n = 1、2时，
时，用二项式定理容易证明
从而当n = 1、2时，
……………………………14分
（理科）解：（1）
，
要使函数在定义域（0，+∞）内为单调函数，
则在（0，+∞）内恒大于0或恒小于0
当
在（0，+∞）内恒成立；
当
恒成立，则
，解得
当
恒成立
所以a的取值范围为
……………………………………………………4分
根据题意得：
于是
用数学归纳法证明如下：
当
，不等式成立；
假设当n = k时，不等式
成立，即
也成立，
当n = k +1时，
，
所以当n = k +1，不等式也成立，
综上得对所有
…………………………………………8分
（3）由（2）得
，
于是
，
所以
，
累乘得：
，
所
…………………………………………14分