2006届重庆市高三联合诊断性考试（第一次）
数 学（理科数学）
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题上。
3．考试结束，监考人将本试题和答题卡一并收回。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必需答在答题卡上。
1．设全集是实数集
，则
等于
A．
B．
C．
D．
2．
的值是
A．
B．
C．
D．
3．已知向量
，向量
，且
，则
的坐标可以为
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则函数
的大致图象是
5．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象
A．向左平移
个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移
个单位 D．向右平移个单位
6．设
是简单命题，则“
且
为假”是“或为假”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知两个正数
满足
，则
取最小值时的值分别为
A．
B．
C．
D．
8．定义在R上的奇函数
满足：当
时，
，则在R上方程
的实根个数为
A．1 B．2 C．3 D．2006
9．椭圆
的左、右焦点分别为
，
为椭圆
上任一点，且
的最大值的取值范围是
，其中
。则椭圆的离心率
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
10．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动。如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度。令
表示第
秒时机器人所在位置的坐标，且记
。则下列结论中错误的是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上（只填结果，不要过程）。
11．不等式
的解集是_________________.
12．在
中，
，则
的值为__________________.
13．等差数列
中，
，则
的值是___________.
14．不等式组
表示的平面区域的面积是______________.
15．2005年10月，我国载人航天飞船“神六”飞行获得圆满成功。已知“神六” 飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200公里、350公里。设地球半径为R公里，则此时飞船轨道的离心率为_____________.（结果用含R的式子表示）
16．已知是定义在实数集
上的函数，且满足
，则
____________.
三、解答题：（本大题6个小题，共76分）各题解答必需答在答题卡Ⅱ上（必需写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。
17．（13分）已知函数
。
（Ⅰ）当
时，求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当
且
时，函数的值域是
，求
的值。
18．（13分）是公差为1的等差数列，
是公比为2等比数列，
分别是
的前项和，且
。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若
，求的范围。
19．（13分）已知两个非零向量为
，解关于
的不等式：
（其中
）
20．（13分）一列火车从重庆驶往北京，沿途有个车站（包括起点站重庆和终点站北京）。车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各1个。设从第
站出发时，邮政车厢内共有邮袋
个
。
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）当为何值时，的值最大，求出的最大值。
21．（12分）如图，自点
向抛物线
作切线AB，切点为B，且点B在第一象限。再过线段AB的中点M作直线
与抛物线C交于不同的两点E、F，直线AF、AE分别交抛物线C于P、Q两点。
（Ⅰ）求切线AB的方程及切点B的坐标；
（Ⅱ）证明：
。
22．（12分）已知函数
。
（Ⅰ）是否存在实数
，使得函数
的定义域和值域都是
。若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若存在实数，使得函数的定义域为，值域为
。求实数
的取值范围。
2006届重庆市高三联合诊断性考试（第一次）
数学试题参考答案及评分标准（理科）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）
BACDC，ABCBD
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）
11．
； 12．
； 13．
； 14．
； 15.
； 16.4
三、解答题：（本大题6个小题，共76分）
17．（13分）
解：
……………（2分）
（Ⅰ）当时，
∴当
时，是增函数，
∴函数的单调增区间为
……………（7分）
（Ⅱ）由
得
∴
………………………………………………（9分）
∵
∴当
时，取最小值3，即
……………（※）
当
时， 取最大值4，即
将代入（※）式得
，故
………………（13分）
18．（13分）
解：（Ⅰ）由题意：
……………（5分）
∴
………………………………………………（6分）
（Ⅱ）
…………………………（8分）
由
…………………………（11分）
又
时，
，
∴当
时，………………………………（12分）
19．（13分）
解：
……………………………………………………（2分）
由得
………………………（4分）
（1）当
时，原不等式
，∴
…………………………（6分）
（2）当
时，
由于
，而，于是有：
①当
，即
时，
原不等式
，∴
………………………………（10分）
②当
，即
时，
原不等式
，∴
或………………………（12分）
综上所得：当时，不等式的解集为
；
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
…………………（13分）
20．（13分）
解：（Ⅰ）
，考察相邻两站
之间的关系，
由题意可知，
，………………………（4分）
∴
依次让取
得
个等式，将这个等式相加得
。……………………………………（7分）
∵，∴
…………………（8分）
（Ⅱ）
。…………………………………………（9分）
当为偶数时，取
取得最大值
；………………………（11分）
当为奇数时，取
或
取得最大值
。………（13分）
21．（12分）
解：（Ⅰ）由题意可设切线AB的方程为
，代入
得
，
∴
∵点B在第一象限，∴
……（2分）
∴切线AB的方程为
由
得
∴切点B的坐标为
…………（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知线段AB的中点
，设直线的方程为
，点
……………………………（5分）
由
，得
，
∴
。……………………………………………（7分）
∵直线与抛物线C交于不同的两点E、F。
∴
，解得
或
。………………………………（8分）
∵A、P、Q共线，∴
，
∴
，∴
，∴
而
，∴
………………………………………………（10分）
同理A、E、Q共线可得
。…………………………………（11分）
∴
∴
，又
∴直线PQ∥直线AB，即。………………………（12分）
下面“另解”由重庆市万州外国语学校许康老师提供：
另解：（Ⅰ）设切点B的坐标为
，
∵
∴过点B的切线的方程为
又切线过点
∴
由点B在第一象限，有
，于是
过点B的切线的方程为。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知线段AB的中点，
设
，其中
则
，
由
与
共线，有
即
∵
，∴
……………………………………①
又由
与
共线，有
即
由
得
……………………………………………………②
同理由
与
共线，有
……………………………………③
②③代入①得：
，即
于是
而
，记
，（否则E、F重合于点B，矛盾）
∴
22．（12分）
解：（Ⅰ）不存在实数满足条件。……………………………………（1分）
假设存在实数，使得
的定义域和值域都是，而
，所以应有。
又
。……………………………………………（3分）
（1）当
时，
在
上为减函数，
故有
，即
由此可推得
矛盾，此时实数不存在。…………………………（4分）
（2）当
时，
在
上是增函数，
∴
，即
，
∴是方程
的根，但方程无实根，
所以此时实数也不存在。……………………………………………（5分）
（3）当
时，显然，
，而
，这不可能。
此时实数也不存在。…………………………………………………（6分）
综上可知，适合条件的实数不存在。…………………………………（7分）
（Ⅱ）若存在实数使函数的定义域为，值域为。
由
得
，而
所以。…………（8分）
仿（Ⅰ）可知，当或时，不存在。故只可能是
…………………………………………………………………………（9分）
∵在区间上是增函数，
∴
，即
，…………………………………………（10分）
∴是方程
的两个不等实根，且二实根均大于等于1，
∴
，………………………………………………………（11分）
解之得
。故实数的取值范围是
。…………………（12分）