2007年3月济南市高三统一考试
数学（理工类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至8页，共150分。测试时间120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分；共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合
，则
等于（ ）
A. 
B. [－1，1] C. 
D. 
2. 如果
且
，那么
的大小关系是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 在
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=60°，
，则角B=（ ）
A. 45°或135° B. 135° C. 45° D. 以上答案都不对
4. 若数列
的前n项和为
，且满足
，则数列的通项公式是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 以
为渐近线的双曲线过点（3，－4），则此双曲线的离心率e等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 已知向量
，若
平行，则实数
的值等于（ ）
A. 
B. 6 C. 2 D. 
7. 由
、
、
及x轴围成的图形的面积为（ ）
A. 28 B. 26 C. 30 D. 
8. 关于函数
，有下列四个命题：（ ）
①其最小正周期为
； ②其图象由
向左平移
个单位而得到；
③其表达式可写成
； ④在
上为单调递增函数。则其中真命题为（ ）
A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③
9. 已知函数
，其反函数为
，则函数
的图象是（ ）
10. 已知正三棱锥V—ABC的主视图、俯视图如下图所示，其中
，则该三棱锥的左视图的面积为（ ）
A. 9 B. 6 C. 
D. 
11. 已知直线
与圆
有公共点，且公共点的横、纵坐标都是整数，那么这样的直线l共有（ ）
A. 66条 B. 72条 C. 78条 D. 84条
12. 定义在实数集R上的奇函数f（x）的最小正周期为20，在区间（0，10）内仅有f（3）=0，则函数
[－100，400]上零点的个数为（ ）
A. 20 B. 26 C. 27 D. 25
第II卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1. 第II卷共6页，用钢笔或蓝圆珠笔直接写在试题卷中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写完整。
二. 填空题：本大题共4个小题。每小题4分；共16分，把答案填在题中横线上。
13. 定义一种运算如下：
，则复数
的共轭复数是_________________。
14. 已知
展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为________。
15. 已知命题p：
，命题q：
，则
的_______条件。
16. 已知一个半球内有一个内接正六棱锥P—ABCDEF，该正六棱锥的底面多边形的顶点在半球的底面圆周上，且底面边长为2，则此六棱锥的侧面积是_______________。
三. 解答题：本大题共6个小题。共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
已知：
。
（1）求
的值；
（2）求
的值。
18. （本小题满分12分）
在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就为“及格”，若投中3次就为“良好”并停止投篮。已知甲每次投篮投中的概率是
。
（1）求甲投了3次而不及格的概率；
（2）设甲投篮投中的次数为
，求随机变量的分布列及数学期望。
19. （本小题满分12分）
已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将三角形AED折起，使
，如图，O、H分别为AE、AB的中点。
（1）求证：直线OH//面BDE；
（2）求证：面ADE⊥面ABCE；
（3）求二面角O—DH—E的大小。
20. （本小题满分12分）
已知函数
的图象都过点P（2，0），且在点P处有公共切线。求：
（1）
的表达式及公切线方程；
（2）设
，其中
，求F（x）的单调区间。
21. （本小题满分12分）
已知过抛物线
的对称轴上一点P（0，m）（m>0）作直线l，l与抛物线交于A、B两点。
（1）若角∠AOB为锐角（O为坐标原点），求实数m的取值范围；
（2）若l的方程为
，且过A、B两点的圆C与抛物线在点A（A在第一象限）处有共同的切线，求圆C的方程。
22. （本小题满分14分）
已知数列、
满足：
。
（1）求
；
（2）求数列的通项公式；
（3）设
，求实数a为何值时
恒成立。
【试题答案】
一. 选择题：
1. D 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. A 8. A 9. C
10. B 11. B 12. B
二. 填空题：
13. －1－3i 14.
15.
充分不必要 16.
三. 解答题：
17. 解：（1）由
，解之得
4分
（2）
8分
12分
18. 解：（1）甲投了3次而不及格，即前3次中只有一次投中或三次都没有投中，其概率为
4分
（2）依题意，可以取0.1.2.3.
当
时，表示连续5次都没投中，其概率为：
当
时，表示5次中仅有1次投中，其概率为：
当
时，表示5次中仅有2次投中，其概率为：
当
时，表示①连续3次都投中，其概率为：
，或②前3次中有2次投中，且第四次投中，其概率为：
，或③前4次中有2次投中，且第五次投中，其概率为：
，
即
9分
随机变量的概率分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
数学期望
11分
答：（1）甲恰好投篮3次就通过的概率是
；
（2）甲投篮投中的次数的数学期望是
12分
19. （1）证明
分别为AE、AB的中点
，又OH不在面BDE内
4分
（2）O为AE的中点AD=DE
又因为AE和BO是相交直线
所以
又OD在面ADE内
6分
（3）由（1）（2）知OA、OH、OD两两垂直，分别以OA、OH、OD为x、y、z轴建立空间坐标系，则
9分
向量
设平面DHE的法向量为
则
10分
11分
又
由图二面角O—DH—E为锐角，所以，二面角O—DH—E的大小
12分
20. 解：（1）
过点P（2，0）
切线方程为
，即
6分
（2）
即m<0时，F(x)的单调增区间是
，单调减区间是
12分
21. 解：（1）设l:y=kx+m，代入抛物线的方程化简得
， 1分
又角∠AOB为锐角，所以
3分
因为
则
又因为
，解得m>4； 6分
（2）解方程组
，
由题意得A（6，9）、B（－4，4）
又函数
的导数为
，所以过点A的公共切线斜率k=3，由题意知圆C的圆心C是线段AB的垂直平分线
和过点A与公共切线垂直的直线
的交点， 9分
联立
的方程解得圆心坐标
，圆半径
11分
故所求圆方程为
12分
22. 解：（1）
（2）
（3）
由条件可知
恒成立即可满足条件设
恒成立
，由二次函数的性质知不可能成立
时，对称轴
f(n)在
为单调递减函数。
综上知：
恒成立 14分
【励志故事】
宽恕等在桥的另一边
海明威在他的短篇故事《世界之都》里，描写一对住在西班牙的父子。经过一连串的事情后，他们的关系变得异常紧张。男孩选择离家而去。父亲心急如焚地寻找他。
遍寻不着之际，父亲在马德里的报纸上刊登寻人启事。儿子名叫帕科，在西班牙是个很普通的名字。寻人启事上写着：“亲爱的帕科，爸爸明天在马德里日报社前等你。一切既往不咎。我爱你。”
海明威接着给读者展示了一幅惊人的景象。隔天中午，报社门口来了八百多个等待宽恕的“帕科”们。
世上有无数的人在等待别人的宽恕。宽恕的受益人不只是被宽恕者，还有和他们一样多的人可以得到好处——就是那些宽恕他们的人。宽恕是一座让我们远离痛苦、心碎、绝望、愤怒和伤害的桥。在桥的那一端，平静、喜悦、祥和正等着迎接我们。
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