宝山区2007年高三质量管理测试卷
（满分150分，时间120分钟） 2008.1.16
一、填空题（本大题满分44分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知
的面积
，b=2，c=6，则sinA=__________。
2.已知集合
，则
=_________。
3.已知
为双曲线
的右顶点，F是双曲线的右焦点，则AF=_______。
4.若实数
满足
，则
____________。
5.若复数
的值为 。
6.函数
的最小值是____________。
7.2007年上海特奥会组委会准备从A、B两所大学中的7名优秀学生（3人来自A大学，4人来自B大学）中选取3人作为志愿者，则3人来自不同大学的概率是_____。
8.已知
，
，
与
的夹角为
，要使
与垂直，则
=
。
9.已知
，
，若
是等比数列，则k=________。
10.我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合且单位长度相同）称为斜坐标系．平面上任意一点P的斜坐标定义为：若
（其中
、
分别为斜坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，x、y∈R），则点P的斜坐标为（x, y）。在平面斜坐标系xoy中，若
，已知点M的斜坐标为 (1, 2)，则点M到原点O的距离为
_______ 。
11.如图，同一平面内的三条平行直线
，
与
的距离为1，与
的距离为2，若正三角形的三个顶点
、
、
分别在这三条直线上，则此正三角形的面积为__________。
二、选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
12.已知A是的内角，则“
”是“
”的（ ）
（Ａ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件
（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分又不必要条件
13.下列函数中，在其定义域内，既是单调递增函数，又是奇函数的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
14.下列命题正确的是 （ ）
(A)已知
是非零向量，则
；
(B)已知
是非零向量，则
；
(C)已知z是复数，且
，则z是纯虚数；
(D) 已知z是复数，则
。
15.如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数图像的公共点，那么称这个点为“好点”。在下面五个点M(1,1)，N(1,2)，P(2,1)，Q(2,2)，G(2,) 中，“好点”的个数为( )
(A) 1个 (B) 2个 (C)3个 (D)4个
三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤。
16．（本题满分12分）如图，在长方体
中，
，
，N、M分别为
、
的中点， 且异面直线MN与AC所成的角为
，求长方体的体积。
17. （本题满分14分）已知函数
。
(1)求y=f(x)的反函数
；
(2)求不等式
的解集。
18.（本题满分14分）已知函数
是R上的奇函数，且最小正周期为π。
（1）求
的值；
（2）求
取最小值时的x的集合。
19. （本题满分14分）某公司的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售
第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件 第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件
元，预计年销售量将减少p万件
(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，求征收管理费比率p%的范围。
20.（本题满分18分）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线
相切。
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且倾斜角为
的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线
上的射影是
。
①求梯形
的面积；
②若点C是线段
上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。
21.（本题满分18分）已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数
图像上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形。
⑴求数列{yn}的通项公式，并证明{yn}是等差数列；
⑵证明xn+2-xn为常数，并求出数列{xn}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。
高三质量管理试题
参 考 答 案
2008.1.16
一、填空题
1. 
； 2 . 
； 3 . 1； 4. 3； 5.
; 6. 
7. 
; 8. 2; 9. -2或-3 10.
; 11. 
.
二、选择: B D C B
三、解答题
16．方法一：如图建立空间直角坐标系，设 
………………1分
则
，
…………………3分
…………………5分
因为异面直线AC与MN的夹角为
，则
…………9分
得:8=
,即
……………………………………10分
所以长方体的体积
………………………………12分
方法二：联结AC，
，设 …………………………………1分
因为
，所以
为异面直线MN与AC所成的角，……………3分
在
中，
，
，
………………6分
由余弦定理得h=8，…………………………………10分
所以长方体的体积………………………………12分
17．解：(1) 
…………………………6分
(2) 由
得
，…………10分
解得
…………12分
又因为定义域为
，所以不等式的解集是
………14分
18．解：（1）
函数最小正周期为
，且
，
………2分
又
是奇函数，且
，由f(0)=0得
……………5分
(2) 由(1)
。 ………………………………………6分
所以
，……10分
当
时，g(x)取得最小值，此时
，
解得 
……………………………………………12分
所以，
取得最小值时
的集合为
………………14分
19．解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8－p）万件，
年销售收入为
（11.8－p）万元，…………………………………………2分
则商场该年对该商品征收的总管理费为
（11.8－p）p%（万元）
…………5分
故所求函数为y=
（118－10p）p。……………………………………………6分
由11.8－p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜
………………………………………7分
（2）由y≥14得
（118－10p）p≥14。………………………………………9分
化简得p2－12p+20≤0，即（p－2）（p－10）≤0，解得2≤p≤10 …………13分
故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元
…………14分
20．解: （1）曲线M是以点P为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为
.……4分
（2）①由题意得，直线AB的方程为
消y得
………………………………………………6分
于是， A点和B点的坐标分别为A
，B（3，
），
所以
，
……………………9分
……………………10分
②设C（－1，y）使△ABC成直角三角形，
，
，
.
(i) 方法一：当
时，
，
即
为直角.
方法二：当
时，得直线AC的方程为
，
求得C点的坐标是
。…………………………13分
(ii) 因为
，所以，
不可能为直角. …………………………15分
(iii)方法一：当
时，
，
即
，解得
，此时
为直角。
方法二：当
时，由几何性质得C点是的中点，即C点的坐标是
。
故当△ABC为直角三角形时，点C的坐标是或
.…………………………18分
21．解：（1）
(nÎN),∵yn+1-yn=
,∴{yn}为等差数列 ………………4分
（2）因为
与
为等腰三角形.
所以
，两式相减得 
。………………7分
注：判断得2分，证明得1分
∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ，…，x2n都是公差为2的等差数列，………………6分
∴
………………10分
（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则 AnAn+1=2
=2(
)Þxn+1-xn=2()
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=
(n为奇数，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=
，取n=3，得a=
，若n≥5，则(*)无解； ………………14分
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.
∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，
取n=2，得a=
,若n≥4，则(*¢)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、. ………………18分
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