北京四中2007－2008学年度第一学期高三数学开学检测（理）
(试卷满分150分，时间120分钟)
一、选择题：(每小题 5分，共40分)
1. 函数
的单调递增区间是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2. 已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
的值为( )
(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2
3. 以下四个命题：
①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；
③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线。
其中正确的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4. 若直线l1：y=x与直线l2：y=ax+b(a,b为实数)夹角的范围为
时，则a的取值范围是( )
(A)
(B)(0,1) (C)
(D)
5. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和AB的中点，EF与对角面A1C1CA所成角为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
6. 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是( )
(A)
(B)
(C)2 (D)4
7. 全集为R，集合
,若a>b>0，则有( )
(A)
(B)
(C)M=E∪F (D)M=E∩F
8. 将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为P，则a、p的值分别为( )
(A)a=210 
(B)a=210 
(C)
(D)a=105
二、填空题：(每小题 5分，共30分)
9. 长方体共顶点的三个面的面积分别是
，这个长方体对角线的长是______；
10. 若实数x、y满足条件
,则目标函数z=2x+y的最大值为_____；
11. 随机变量ξ的概率分布规律为
，其中a是常数，则a=______________，
；
12. 若
展开式的第7项为
13. 设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，若Φ(-1.96)=0.025，则P(ξ<1.96)=______；
14. 对于在区间[a，b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于任意x∈[a，b]，均有f(x)-g(x)≤1，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是接近的，若函数y=x2-3x+2与函数y=2x-3在区间[a，b]上接近，则该区间可以是____。
三、解答题：(本大题有6个小题，共80分)
15. (本小题 13分) 解关于x的不等式(ax-1)(x+1)>0(a∈R)
16. (本小题 13分)
已知：f(x)=x2-x+m(m∈R)且f(log2a)=m，log2f(a)=2，a≠1
(1)求：f(log2x)的最小值及对应的x值；
(2)求：不等式f(log2x)>f(1)的解。
17. (本小题 13分)已知：正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长AA1=2，
(Ⅰ)E为棱CC1的中点，求证：B1D1⊥AE；
(Ⅱ)求：二面角C-AE-B的平面角的正切值；
(Ⅲ)求：点D1到平面EAB的距离。
18. (本小题 13分)
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润。
(Ⅰ)求：事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(Ⅱ)求：η的分布列及期望Eη。
19. (本小题 14分)已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是
(1)求：椭圆方程；(2)若直线
与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F1和F2，求：以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积的最大值。
20. (本小题14分)已知：函数f(x)=x2+2bx+c(c<b<1)，f(1)=0，且方程f(x)+1=0有实根。
(1)求证：-3<c≤-1且b≥0;
(2)若m是方程f(x)+1=0的一个实根，判断 f(m-4)的正负并加以证明。
参考答案：
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | A | D | B | C | A | A | B | C |
二、填空题
| 9 |
| 10 | 2 | ||
| 11 |
|
| 12 |
| |
| 13 | 0.95 | 14 | [1,2]或[3,4]或填它们的任一子区间 | ||
三、解答题
15. 解：
(1)当a=0时，-(x+1)>0，即：x<-1
(2)当a>0时，
(3)当a<0时，
①-1<a<0，
;②a=-1，无解；③a<-1，
16. 解：
(1)∵f(log2a)=m，
∴log2a=1或log2a=0，即a=2或a=1(舍)
∵a=2，∴f(a)=f(2)=2+m
∴log2f(a)=log2(2+m)=2,∴m=2
∴当
(2)由(1)知：f(log2x)>f(1)即为：
则有log2x>1或log2x<0，∴x>2或0<x<1
17.
(1)证明：连结A1C1，
∵AA1⊥平面A1C1，∴A1C1是AE在平面A1C1上的射影，
在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1
∴B1D1⊥AE
(2)连结BD交AC于O，过B点作BF⊥AE交AE于F，连结OF
∵EC⊥平面AC
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACE
∴OF是BF在平面EAC上的射影，
∴AE⊥FO
∴∠BFO是二面角B-AE-C的平面角
在正方形ABCD中，
在Rt△ACE中，AE=3，
∵△AOF∽△AEC，
在Rt△BOF中，
(3)过C1作C1G⊥BE交BE的延长线于G，
∵AB⊥平面BC1，
∴AB⊥C1G，∴C1G⊥平面ABE，
∵D1C1∥AB，
∴D1C1∥平面ABE，
∴D1到平面ABE的距离等于C1到平面ABE的距离
∵△C1GE∽△BCE，
∴D1到面ABE的距离等于
((3)中可用等积法，作对一样给分)
18. 解：
(Ⅰ)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”
知
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
(Ⅱ)η的可能取值为200元，250元，300元
P(η=200)=P(ξ=1)=0.4
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4
P(η=300)=1-P(η=200)-P(η=250)=1-0.4-0.4=0.2
η的分布列为
| η | 200 | 250 | 300 |
| P | 0.4 | 0.4 | 0.2 |
Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元)
19. 解：(1)设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程：
∵椭圆的一个顶点是
∵离心率为
∵a2=b2+c2,∴a2=20,b2=5
∴椭圆方程：
(2)∵椭圆方程：
∴左右焦点为
联立方程
即：2y2-2my+m2-5=0
∵直线与椭圆相交于A、B两点，
∴△=4m2-8(m2-5)>0，即:
由题知：以F1F2和AB为对角线的四边形F1AF2B面积
20. 解：
(1)
又c<b<1，故
方程f(x)+1=0有实根，
即x2+2bx+c+1=0有实根，故△=4b2-4(c+1)≥0
即
又c<b<1，得-3<c≤-1，由
(2)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1)，f(m)=-1<0
∴c<m<1
∴c-4<m-4<-3<c
∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0
∴f(m-4)的符号为正。