常州市第一中学2007—2008学年度高三年级第一次月考
数学试卷
一、选择题：
1、已知
，那么
=
（
C ）
A、
B、
C、
D、
2、已知：
，则
是
的
（
A ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3、关于直线
、
与平面
、
，有下列四个命题：
①
且
，则
； ②
且
，则
；
③
且，则； ④
且，则.
其中真命题的序号是： （ D ）
A、①② B、③④ C、①④ D、②③
4、设
是第二象限角,且
,则
的值是
（ C ）
A、
B、
C、
D、
5、若
，则
的取值范围是
（
B ）
A、[1,5] B、
C、
D、
6、若函数f (x)满足
，且
则函数y=f(x)的图象与函数
的图象的交点的个数为
（ B ）
A、 3 B、 4 C、 6 D、 8
7、若四面体的六条棱中有五条长为
，则该四面体体积的最大值为
（ A ）
A、
B、
C、
D、
8、已知偶函数y=f(x)在[－1，0]上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，则 （ A ）
A.
B.
C.
D.
9、菱形ABCD的边长为
，H分别在AB、BC、CD、DA上，且
，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为
A、
B、
C、
D、
（
A ）
10、已知定义在R上的奇函数
为偶函数，对于函数
有下列几种描述，
（1）是周期函数
（2）
是它的一条对称轴
（3）
是它图象的一个对称中心
（4）当
时，它一定取最大值
其中描述正确的是 （ B ）
A、（1）（2） B、（1）（3） C、（2）（4） D、（2）（3）
二、填空题：
11、若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
[1,5]
；
12、
的值域为
；
13、y=f(x)是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1,
，则
= -1 ；
14、已知方程
的两根为
，且
，则的取值范围是 
；
15、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB=
且△ABC的面积为
，则
=
2 .
16、若对终边不在坐标轴上的任意角
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 
；
三、解答题：
17、已知函数
，
．
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式
在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）
．
又
，
，即
，
．
（2）
，，
且
，
，即的取值范围是
．
18、已知函数
。
（1）当
时，求的最大值和最小值。
（2）若在
上是单调函数，且
，求
的取值范围。
解：（1）
时，
。由
，当
时，
有最小值为
，当
时，有最大值为
。
（2）
的图象的对称轴为
，由于在上是单调函数，所以
或
，即
或
，所求的取值范围是
19、已知命题
和
是方程
的两个实根，不等式
对任意实数
恒成立；命题
只有一个实数
满足不等式
，若命题
是假命题，命题
是真命题，求
的取值范围。
解：（1）
和
是的两根，所以
又，则有
。因为不等式对任意实数恒成立，所以
，所以
由题意有
由命题“或”是假命题，命题“且”是假命题，有假假，所以
。
20、设的定义域为
，且满足
，
，有
，当
时，
。（1）求
的值；（2）证明在
上是增函数；（3）解不等式
。
解：（1）令
，则
（2）且
时，
，因为
，又当时，，所以
，所以在上单调增。
（3）令
，则
；令
，则
所以
，所以
21、在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=
a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；（2）若
为
中点，求证：
平面
（3）求二面角A-PD-E的正弦值；（4）求点C到平面PDE的距离
解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2
a,∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB．同理PA⊥AE． ∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE． 3分
（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。
，为中点，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE
6分
（3）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG， ∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．
∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角． 8分
在直角△PAE中，AG＝a．在直角△PAD中，AH＝
a，∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝
＝
．∴二面角A-PD-E的正弦值为． 10分
（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE
平面PDE，CF
平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．
∴FG的长即F点到平面PDE的距离． 13分
在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE， ∴FG=
a．
∴点C到平面PDE的距离为a．
（或用等体积法求）
22、设函数
，当点
是函数
的图象上的点时，点
是函数
的图象上的点。
（1）求出函数的解析式；
（2）若当
时，恒有
，试确定
的取值范围。
解： （1）设
，则
，又
，则
，所以
。
（2）
，定义域为
，又
，则有
，所以
，令
在区间
上单调增，
理科学生做（选择填空题每题4分）
1.
矩阵
的逆矩阵是
( )
A．
B． 
C．
D．
2. 表示x轴的反射变换的矩阵是( )
A. 
B. 
C. 
D.
3.
极坐标方程
表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
4.
若曲线
在矩阵
的作用下变换成曲线
，则
的值为______。
5.
点
是椭圆
上的一个动点，则
的最大值为___________。
6.
已知圆C的参数方程为
（
为参数），P是圆C与y轴的交点，若以圆心C为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P圆C的切线的极坐标方程是
.
7.
（本题6分）过点
作倾斜角为
的直线与曲线
交于点
，求
的最小值及相应的的值。
8.
（本题10分）当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n年时，兔子数量
用表示，狐狸数量用
表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有
只，狐狸数量有
只。请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型（
、的关系式）；
（2）求出、关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。
参考答案：
1、A ；2、D；3、C；4、2；5、
；6、
或 
；
7、解：设直线为
，（1分）
代入曲线并整理得 
（2分）
则
（4分）
所以当
时，即
，的最小值为
，此时。（6分）
8、解：⑴
……………………2
⑵设
，
∴
=……=
又矩阵M的特征多项式
=
令
得：
……………………4’
特征值
对应的一个特征向量为
特征值
对应的一个特征向量为
……………………6’
且
∴
=
∴
………………………………8
⑶当n越来越大时，
越来越接近于0，,分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。……10