北京师大附中2007——2008学年度第一学期高三开学检测高三数学(文)
(考试范围：立体几何、排列组合、二项式定理、概率与统计、导数。考试时间：2007.8.21)
第Ⅰ卷(试题)
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ）
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A．16π B．20π C．24π D．32π
3．若
展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为
A．10 B．20 C．30 D．120
4．
在区间
上的最大值是
A．－2 B．0 C．2 D．4
5．四面体
的外接球球心在
上，且
，
，在外接球面上两点
间的球面距离是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6．若
、
是两条不同的直线，
、
、
是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是
| A．若 | B．若 |
| C．若 | D． |
，则
，则若
，则
，则
7．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为
A．
B。
C。
D。
8．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种数为（
）
A．30 B．240 C． 360 D．630
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
9．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如右，根据上图可得这100名学生中体重在
的学生人数是__________．40
10．如图，已知正三棱柱
的底面边长为1，高为8，一质点自
点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达
点的最短路线的长为
．10
11．某篮球运动员在三分线投球的命中率是
，他投球10次，恰好投进3个球的概率为
.（用数值作答）
12．正三棱锥P—ABC的高为2，侧棱与底面ABC成45°角，则点A到侧面PBC的距离为__________．
13。甲是射箭运动员，在某次测试中射箭20次，测试成绩如下表：
| 甲的成绩 | ||||
| 环数 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 频数 | 6 | 4 | 4 | 6 |
甲运动员这次测试成绩的标准差s的值为
14．在正方形
中，过对角线
的一个平面交
于E，交
于F，则：
（1）四边形
一定是平行四边形；
（2）四边形有可能是正方形；
（3）四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
（4）四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）（1）（3）（4）
北京师大附中2007——2008学年度第一学期高三开学检测
高三数学(文)
第Ⅱ卷(答题纸)
班级__________ 姓名__________ 学号__________ 成绩__________
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
二、填空题：把答案填在下面横线上．
| 9．_________________________________ | 10．_________________________________ |
| 11．_________________________________ | 12．_________________________________ |
| 13．_________________________________ | 14．_________________________________ |
三、解答题．
15．设函数
的图像与直线
相切于点
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）讨论函数
的单调性。
解：
= 3x2－6ax + 3b，
由
，得
，解得a = 1，b =－3
（II）由（I）得f (x ) = x3－3x2－9x，= 3x2－6x－9.
由＞0，得x＜－1或x＞3；＜0，得－1＜x＜3
故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)和(3，+∞)；递减区间是(－1，3).
16．已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率
解：（I）P =
×
=
；
（II）P =
=
.
17．如图，在Rt△AOB中，∠OAB =
，斜边AB = 4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角，D是AB的中点.
（I）求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）求异面直线AO与CD所成角的大小；
（I）证明：∵△AOC是直角三角形，
∴ CO⊥AO，且CO
面AOC，面AOB⊥面AOC，
∴ CO⊥面AOB，
∴ 面COD⊥面AOB.
（II）解：作
，垂足为
，连结
（如图），则
，
是异面直线
与所成的角．
在
中，
，
，
．
又
．
在
中，
．
异面直线与所成角的大小为
．
18．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点.
（I）证明：EF∥平面SAD；
（II）设SD = 2DC，求二面角A－EF－D的大小.
解：解法一：
（1）作
交
于点
，则为的中点．
连结
，又
，
故
为平行四边形．
，又
平面
平面
．
所以
平面．
（2）不妨设
，则
为等
腰直角三角形．
取
中点
，连结
，则
．
又
平面，所以
，而
，
所以
面
．
取
中点
，连结
，则
．
连结
，则
．
故
为二面角
的平面角
．
所以二面角的大小为
．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系
．
设
，则
，
．
取的中点
，则
．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设
，则
．
中点
又
，
，
所以向量
和
的夹角等于二面角的平面角．
．所以二面角的大小为
．