金山区2007学年第一学期期末考试
高三数学文科测试试题
满分150分，完卷时间为120分钟，答案请写在答题纸上
一、填空题(每小题4分，共44分)
1、已知集合P={xx2–9<0}，Q={xx2–1>0}，则
。
2、若复数
为实数，则实数
。
3、函数f(x)=1+log 2 x的反函数f –1(x)= 。
4、函数
，xÎ(0,+∞)的最小值
。
5、若方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则k的取值范围是
。
6、方程sinx+cosx= –1在[0,π]内的解为 。
7、向量
与
的夹角为
，
，
，则
。
8、直线
x+y–2=0截圆x2+y2=4所得的弦长为 。
9、在实数等比数列{an}中a1+a2+a3=2，a4+a5+a6=16，则a7+a8+a9= 。
10、定义在R上的周期函数f(x)是偶函数，若f(x)的最小正周期为4，且当xÎ[0,2]时，f(x)=2–x，则f(2008)= 。
11、正数数列{an}中，对于任意nÎN*，an是方程(n2+n)x2+(n2+n–1)x–1=0的根，Sn是正数数列{an}的前n项和，则
。
二、选择题(每小题4分，共16分)
12、在复平面内，复数z=
对应的点位于
( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
13、命题：“对任意的
，
”的否定是
( )
(A)不存在，； (B)存在，；
(C)存在，
； (D)对任意的，.
14、已知A(1,0)、B(7,8)，若点
和点
到直线l的距离都为5，且满足上述条件的直线l共有n条，则n的值是
( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
15、方程x–2 = log 2x的解的个数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
三、解答题(本大题满分90分)
16、(本大题12分)
设函数f(x)=
–cos2x–4tsin
cos+2t2–3t+4，xÎR，其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t)。(1)求函数g(t)的表达式；(2)判断g(t)在[–1, 1]上的单调性，并求出g(t)的最值。
17、(本大题12分)
复数
是一元二次方程
的根，
(1)求
和
的值；(2)若
，求
。
18、(本大题14分)
在△ABC中，A为锐角，a=30，ΔABC的面积S=105，外接圆半径R=17。
(1)求sinA、cosA的值；(2)求ΔABC的周长。
19、(本大题16分)
设为实数，函数f(x)=xx–a，其中xÎR。
(1)分别写出当a=0、a=2、a= –2时函数f(x)的单调区间；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明。
20、(本大题18分)
阅读下面所给材料：已知数列{an}，a1=2，an=3an–1+2，求数列的通项an。
解：令an=an–1=x，则有x=3x+2，所以x= –1，故原递推式an=3an–1+2可转化为：
an+1=3(an–1+1)，因此数列{an+1}是首项为a1+1，公比为3的等比数列。
根据上述材料所给出提示，解答下列问题：
已知数列{an}，a1=1，an=3an–1+4，
(1)求数列的通项an；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；
(2)若记Sn=
，求
Sn;
(3)若数列{bn}满足：b1=10，bn+1=100
，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{bn}的通项公式bn。
21、(本大题18分)
(1)已知平面上两定点
、
，且动点M标满足
=0，求动点
的轨迹方程；
(2)若把(1)的M的轨迹图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky–3=0 相切，试求实数k的值；
(3)如图，l是经过椭圆
长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是两个焦点，点PÎl，P不与A重合。若ÐEPF=
，求的取值范围。
并将此题类比到双曲线：
，
是经过焦点
且与实轴垂直的直线，
是两个顶点，点PÎl，P不与重合，请作出其图像。若
，写出角的取值范围。(不需要解题过程)
2007学年度第一学期高三数学期末考试试题答案(文)2008年1月
一、填空题：
1、{–2, 2} 2、2 3、2x–1 (xÎR) 4、4 5、–6<k<–1 6、π 7、2
8、2 9、128 10、2 11、1
二、选择题：12、A 13、C 14、C 15、C
16、(1)因为函数f(x)= –cos2x–4tsincos+2t2–3t+4，xÎR，其中t≤1，
所以f(x)=sin2x–2tsinx+2t2–3t+3=(sinx–t)2+ t2–3t+3……………………………………3分
g(t)=f(x)min=f(t)= t2–3t+3…………………………………………………………………6分
(2)g(t)= t2–3t+3=(t–
)2+
，其对称轴为t=，开口向上，
所以g(t)在[–1, 1]上的单调性为单调递减，……………………………………………9分
g(t)min=1…………………………………………………………………………………11分
g(t)max=7…………………………………………………………………………………12分
17、(1)由题得
，…………………………………………………………2分
因为方程ax2+bx+1=0(a、bÎR)是实系数一元二次方程，
所以它的另一个根为
………………………………………………………4分
由韦达定理知：
……………………6分
(2)由(1)知
，设 
……………………8分
则：
，得
……10分
，所以
……………………12分
18、(1) 在△ABC中，A为锐角，a=30，外接圆半径R=17，所以
=2R=34，…2分
sinA=
，cosA=
……………………………………………………………………6分
(2) ΔABC的面积S=105，105=
bcsinA，bc=238………………………………………8分
a2=b2+c2–2bccosA=(b+c)2–2bc(1+cosA) ………………………………………………10分
(b+c)2=a2+2bc(1+cosA)=900+2´238(1+)=1600……………………………………12分
b+c=40，ΔABC的周长为70。…………………………………………………………14分
19、(1) 当a=0时，f(x)=xx=
，f(x)的单调递增区间为
；…2分
当a=2时，
的单调递增区间为(–∞,1)和(2,+∞)；…………………………………………4分
的单调递减区间为(1,2)………………………………………………………6分
当a= –2时，
的单调递增区间为(–∞, –2)和(–1, +∞)；……………………………………8分
的单调递减区间为(–2,–1)…………………………………………………10分
(2)当a=0时，f(x)=xx，所以f(x)为奇函数……………………………………………11分
因为定义域为R关于原点对称，且f(–x)=–x–x=–f(x)
所以为奇函数。…………………………………………………………………13分
当a¹0时，f(x)=xx–a为非奇非偶函数，………………………………………14分
f(a)=0，f(–a)=
–a
所以f(x)是非奇非偶函数。……………………………………………………………16分
20、(1) 令an=an–1=x，则有x=3x+4，所以x= –2，故原递推式an=3an–1+4可转化为：
an+2=3(an–1+2)，因此数列{an+2}是首项为a1+2，公比为3的等比数列。
所以an+2=(a1+2)´3n–1，所以an=3n–2；…………………………………………2分
对于an=3an–1+4，可以看成把直线y=3x+4的方程改写成点斜式方程，
该点就是它与直线y=x的交点。……………………………………………………4分
(2)令dk=
=
=(
)2
=()2(
–
)……………………………………………7分
Sn==d1+d2+……+dn
=()2[(
)+(
)+(
)+……+(
)]
=()2[
]………………………………………………………………10分
Sn=()2……………………………………………………………………12分
(3)数列{bn}满足：b1=10，bn+i=100，所以bn>0，lg bn+i=lg(100)
令cn=lgbn，则cn+1=3cn+2，………………………………………………………14分
所以cn+2=3(cn–1+2)，因此数列{cn+2}是首项为c1+2，公比为3的等比数列。
所以cn+2=(c1+2)´3n–1，所以cn=3n–2，…………………………………………16分
lgbn=cn=3n–2；bn=
…………………………………………………………18分
21、(1)设
，由
得
，此即点的轨迹方程。…3分
(2)将x2+y2=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，
得到圆(x–1)2+(y+1)2=4…………………………………………………………………5分
依题意有
，得k=0或
……………………………………………8分
(3)(ⅰ)证明：不妨设点P在A的右侧，并设P(t, –5)(t>0)，
则
…………………………………………………10分
所以
……………………12分
所以0<tana≤。显然a为锐角，即：0<a≤arctan……………………………14分
(ⅱ)如图…………………………………………………………………………………16分
 |
(图形中没有体现出双曲线的渐近性的，扣1分)
。………………………………………………………………18分