金山区2007学年第一学期期末考试
高三数学理科测试试题
满分150分，完卷时间为120分钟，答案请写在答题纸上
一、填空题(每小题4分，共44分)
1、已知集合P={xx2–9<0}，Q={yy=2x，xÎZ}，则P∩Q = 。
2、若复数
为实数，则实数
。
3、函数f(x)=1+log 2 x(x≥2)的反函数f –1(x) = 。
4、函数
，xÎ[4,6]的最小值
。
5、若方程
表示椭圆，则
的取值范围是
。
6、方程sinx+cosx= –1在[0,π]内的解为 。
7、向量
与
的夹角为
，
，
，则
。
8、直线
x+y–2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角的大小为 。
9、在实数等比数列{an}中a1+a2+a3=2，a4+a5+a6=16，则a7+a8+a9= 。
10、定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2+x) = f(2–x)，且当xÎ[0,2]时，f(x)=
，则f(2008)= 。
11、正数数列{an}中，对于任意nÎN*，an是方程(n2+n)x2+(n2+n–1)x–1=0的根，Sn是正数数列{an}的前n项和，则
。
二、选择题(每小题4分，共16分)
12、在复平面内，复数z=
对应的点位于
( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
13、命题：“对任意的
，
”的否定是 ( )
(A)不存在，； (B)存在，；
(C)存在，
； (D)对任意的，.
14、已知A(1,0)、B(7,8)，若点
和点
到直线l的距离都为5，且满足上述条件的直线l共有n条，则n的值是
( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
15、 已知直线l：(m+1)x–my+
=0与圆C：x2+y2=2相切，且满足上述条件的直线l共有n条，则n的值为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 以上答案都不对
三、解答题(本大题满分90分)
16、(本大题12分)
设函数f(x)=
，(1)化简f(x)的表达式，求f(x)的定义域，并求出f(x)的最大值和最小值；(2)若锐角a满足cosa=
，求f(a)的值。
17、(本大题12分)
复数
是一元二次方程ax2+bx+1=0(a、bÎR)的根，
(1)求a和b的值；(2)若
，求u。
18、(本大题14分)
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足
，
(1)求角B的度数；(2)若b=
，a+c=5，求a和c的值。
19、(本大题16分)
设
为实数，函数f(x)=xx–a，其中xÎR。
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)写出函数f(x)的单调区间。
20、(本大题18分)
阅读下面所给材料：已知数列{an}，a1=2，an=3an–1+2，求数列的通项an。
解：令an=an–1=x，则有x=3x+2，所以x= –1，故原递推式an=3an–1+2可转化为：
an+1=3(an–1+1)，因此数列{an+1}是首项为a1+1，公比为3的等比数列。
根据上述材料所给出提示，解答下列问题：
已知数列{an}，a1=1，an=3an–1+4，
(1)求数列的通项an；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理；
(2)若记Sn=
，求
Sn；
(3)若数列{bn}满足：b1=10，bn+i=100
，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{bn}的通项公式bn。
21、(本大题18分)
(1)已知平面上两定点
、
，且动点M的坐标满足
=0，求动点
的轨迹方程；
(2)若把(1)的M的轨迹图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky–3=0 相切，试求实数k的值；
(3)如图1，l是经过椭圆
长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是两个焦点，点PÎl，P不与A重合。若
，证明：
。类比此结论到双曲线
，
是经过焦点
且与实轴垂直的直线，
是两个顶点，点PÎl，P不与重合(如图2)。若
，试求角
的取值范围。
2007学年度第一学期高三数学期末考试试题答案(理)2008年1月
一、填空题：1、{–2, 0, 2} 2、2 3、2x–1 (x≥2) 4、5 5、–6<k<4且k¹–1
6、π 7、2 8、60o 9、128 10、2 11、1
二、选择题：12、A 13、C 14、C 15、B
三、解答题：
16、(1)函数f(x)= =
=
=2sinx+2cosx ……5分
f(x)的定义域为{xx¹kπ+
，kÎZ}，……………………………………………………6分
又f(x)=2sin(x+
)……………………………………………………………………7分
f(x)max=2，f(x)min=
–2……………………………………………………………9分
(2)若锐角a满足cosa=，则sina=
…………………………………………………10分
f(a)=
…………………………………………………………………………………12分
17、(1)由题得
，…………………………………………………………2分
方程ax2+bx+1=0是实系数一元二次方程，故它的另一个根为
…………4分
由韦达定理知：
，得
……………………6分
(2)由(1)知
，设 
……………………7分
则：
，得
……8分
，所以
……………………12分
18、(1)由题，由正弦定理得：
，……2分
……………………………………………3分
sin(B+C)+ 2cosB sinA=0 …………………………………………………………………4分
sinA+2cosB sinA=0……………………………………………(只要写出本行，给5分)5分
因为
，所以cosB= –
，所以B=120o………………………………………7分
(2)由余弦定理得：
，………………………………………9分
19=(a+c)2–
由
，得
或
………………………………(缺一解，扣1分)14分
19、(1)当a=0时，f(x)=xx，所以f(x)为奇函数…………………………………………1分
因为定义域为R关于原点对称，且f(–x)=–x–x=–f(x)，所以f(x)为奇函数。……3分
当a¹0时，f(x)=xx–a为非奇非偶函数，………………………………………4分
f(a)=0，f(–a)=
–a
所以f(x)是非奇非偶函数。……………………………………………………………6分
(2)当a=0时，
，
的单调递增区间为
；……8分
当a>0时，
f(x)的单调递增区间为
和
；……………………………………10分
f(x)的单调递减区间为
；……………………………………………………12分
当a<0时，
f(x)的单调递增区间为
和
；……………………………………14分
f(x)的单调递减区间为
………………………………………………………16分
20、(1) 令an=an–1=x，则有x=3x+4，所以x= –2，故原递推式an=3an–1+4可转化为：
an+2=3(an–1+2)，因此数列{an+2}是首项为a1+2，公比为3的等比数列。
所以an+2=(a1+2)´3n–1，所以an=3n–2；…………………………………………2分
对于an=3an–1+4，可以看成把直线y=3x+4的方程改写成点斜式方程，
该点就是它与直线y=x的交点。……………………………………………………4分
(2)令dk=
=
=(
)2
=()2(
–
)……………………………………………7分
Sn==d1+d2+……+dn
=()2[(
)+(
)+(
)+……+(
)]
=()2[
]………………………………………………………………10分
Sn=()2……………………………………………………………………12分
(3)数列{bn}满足：b1=10，bn+i=100，所以bn>0，lg bn+i=lg(100)
令cn=lgbn，则cn+1=3cn+2，………………………………………………………14分
所以cn+2=3(cn–1+2)，因此数列{cn+2}是首项为c1+2，公比为3的等比数列。
所以cn+2=(c1+2)´3n–1，所以cn=3n–2，…………………………………………16分
lgbn=cn=3n–2；bn=
…………………………………………………………18分
21、(1)设
，由
得
，此即点的轨迹方程。…3分
(2)将x2+y2=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，
得到圆(x–1)2+(y+1)2=4…………………………………………………………………5分
依题意有
，得k=0或
……………………………………………8分
(3)(ⅰ)证明：不妨设点P在A的上方，并设
，
则
………………………………………10分
所以
……………12分
所以
。显然a为锐角，即：
……………………14分
(ⅱ)不妨设点
在
的上方，并设
，
则
，
所以
由于
且
，a为锐角，故
。……………18分