2007学年奉贤区调研测试
高三数学试卷（文科） 08.1
（本卷满分150分，完卷时间120分钟）
本卷命题人员：丁欢锋、金春梅、姚志强
| 题号 | 填空题 | 选择题 | 解答题 | 总分 | |||||
| 1-12 | 13-16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||
| 得分
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一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合M＝
,N＝
，则集合
＝
2、
__
___
3、已知点M(3－2),N(－5,－1),则
=
4、若函数
,则函数
的最小正周期是
5、已知数列
，满足
，且
，则
=____
6、设
满足约束条件
，则
的最大值是__
7、在一个口袋里装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，现从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （用分数表示）。
8、若
是
，
，…，
的平均数，
是，，…，
的平均数，
是
，
，…，的平均数，则可用、表示为
9、已知函数
是奇函数，当
时，
，设的反函数是
，则
_________
10、以复数
为一个根的实系数一元二次方程是
（只需写出一个）
11、已知点A（
,t＋
），点B（2t＋3，1），
＝
，若向量对应终点C落在第一象限，则实数t的取值范围是
12、为了稳定市场，确保农民增收，某农产品每月的市场收购价格与其该月之前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 价格（元/担） | 98 | 108 | 97 | 101 | 102 | 100 |
则7月份该产品的市场收购价格应为 元．
| |
13、若
，则角
的终边所在象限是---------------（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
14、如图，在平行四边形ABCD中， （ ）
下列结论中错误的是 
（A）
＝
；
（B）
＋＝
；
（C）－＝
； （D）＋
＝
．
15、设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是--------------------（ ）
（A）
是奇函数
（B）
是奇函数
（C）
是偶函数
（D）
是偶函数
16、在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点。若函数的图象恰好经过
个格点，则称函数为阶格点函数。给出四个函数：①
；②
；③
；④
。则上述四个函数中是一阶格点函数的个数是…………………………
（
）
（A） 1 （B） 2 （C）3 （D） 4
| |
17（本题满分12分）在
中，
，
，
，求的面积。
解：
| |
18（本题满分12分）已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD。求向量
和向量
的夹角（结果用反三角函数值的形式表示）
解：
| |
19、（本题满分14分）已知关于
的不等式
的非空解集为
（1）求实数
和
的值
（2）求不等式
的解集
解：
|
20、（本题满分14分）某厂拟更换一部发电机，B型发电机的购价比A型发电机购价多1000元，但每使用完一个月可节约使用费50元.现若按1%的月折现率计算(月折现率1%，是指一个月后的1元，相当于现值的
元；如：B型发电机使用完第1个月可节约使用费相当于现值的50×
元)，问：
（1）B型发电机使用2个月可节约使用费相当于现值的多少元?(结果精确到0.1元)
（2）若该厂更换B型发电机，则至少使用多少月才比更换A型发电机合算(结果精确到月)?
解：
| |
21、（本题满分16分）已知函数 
，
（1）求函数的定义域；
（2）求证函数在(0,＋∞)内单调递增。
（3）若
是函数的反函数，设
，求函数
的最小值及对应的x值。
解：
| |
， 
有唯一的根。
（1）求
的值；
（2）数列对
总有
；
求证
为等差数列，并求出{
}的通项公式。
(3)是否存在这样的数列
满足：为的子数列（即中的每一项都是的项）且为无穷等比数列，它的各项和为
。
若存在，找出一个符合条件的数列，写出它的通项公式；若不存在，说明理由。
解：
高三数学试卷（理科） 08.1
（本卷满分150分，完卷时间120分钟）
本卷命题人员：蒋惠光、李菊初、姚志强
| 题号 | 填空题 | 选择题 | 解答题 | 总分 | |||||
| 1-12 | 13-16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||
| 得分
|
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| |
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、已知集合M＝,N＝，则集合＝
2、已知向量
＝(3－2), 
＝(－5,－1),则 =
3、已知
＝2，则b＝_________
4、
展开式中的常数项是___ _（用数字作答）
5、在一个口袋里装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，现从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （用分数表示）。
6、若是，，…，的平均数，是，，…，的平均数，是，
，…，的平均数，则可用、表示为
7、
是等差数列
的前项和，若
且
，则当取得最大值时的
8、已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则______
9、函数
的最小正周期是
10、若虚数z满足z＋
R,则
的取值范围是
.
11、为了稳定市场，确保农民增收，某农产品每月的市场收购价格与其该月之前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 价格（元/担） | 98 | 108 | 97 | 101 | 102 | 100 |
则7月份该产品的市场收购价格应为 元．
12、已知点A（,t＋），点B（2t＋3，4），
＝
，若向量对应终点C落在第四象限，则实数t的取值范围是
| |
13、若，则角的终边所在象限是-------------（ ）
（A）、第一象限 （B）、第二象限 （C）、第三象限 （D）、第四象限
14、函数
的图象是 -----------------------------------（ ）
|
（A） （B） （C） （D）
15、已知直线
上一点P的横坐标为，有两个点A（－1，1），B（3，3），那么使向量
与
夹角为钝角的一个充分不必要条件是----------------------（ ）
（A）、
（B）、
（C）、
（D）、
16、设数集M＝
,N＝
，且
都是集合
的子集，如果把
叫做集合
的“长度”，那么集合
的“长度”的最小值是------------------------------------------------（ ）
（A）、
（B）、
（C）、
（D）、
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
| |
17（本题满分12分）在中，，，，求BC边的长度
| |
18（本题满分12分）已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，
求向量和向量的夹角
解：
|
19、（本题满分14分）已知：函数f(x)＝
＋4x＋3 （xR），
与图象关于直线
对称。
（1）求；
（2）如果关于的不等式 g(x)≥g(a)-4的解集为全体实数，求a的最大值；
解：
| |
20、（本题满分14分）某厂拟更换一部发电机，B型发电机的购价比A型发电机购价多1000元，但每使用完一个月可节约使用费50元.现若按1%的月折现率计算(月折现率1%，是指一个月后的1元，相当于现值的元；如：B型发电机使用完第1个月可节约使用费相当于现值的50×元)，问：
（1）B型发电机使用2个月可节约使用费相当于现值的多少元?(结果精确到0.1元)
（2）若该厂更换B型发电机，则至少使用多少月才比更换A型发电机合算(结果精确到月)?
解：
| |
21、（本题满分16分）已知复数：
＝
(
＋1)＋ki 
＝1－xi （其中x, kR），记f(x)＝Re(
)
（1）试写出f(x)关于x的函数解析式
（2）若函数f(x)是偶函数，求k的值
（3）求证：对任意实数m，由（2）所得函数y＝f(x)的图象与直线y＝
x＋m的图象最多只有一个交点。
解：
| |
，有唯一的根。
（1）求的值；
（2）数列对总有；求出数列{}的通项公式。
(3) 是否存在这样的数列满足：为的子数列（即中的每一项都是的项）且为无穷等比数列，它的各项和为。
若存在，找出所有符合条件的数列，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由。
解：
奉贤区2007学年度第一学期期末高三调研试卷（参考答案）
文科
一、填充题
1、
2、1/2 3、 (-4，1/2) 4、 2π 5、－188 6、 8 7、 
8、
9、－2 10、 如： 
11、 (3,＋∞)
12、 101 元．
二、选择题
13、（C ）14、（C ）15、（ D ） 16、（B ）
三、解答题
17、解：由 ，
得sin(A－
)＝
--------------------------------（3）
A－
＝kπ＋
(kz)------------------------------------（3）
∵A(0, π)
∴A＝
------------------------------------------（2）
＝AB·AC·sinA-------------------------------------------(2)
＝
--------------------------------------------(2)
18、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD。
求向量和向量的夹角（结果用反三角函数值的形式表示）
解：方法一：
设D（x，y），则
=（x-2，y+1）---------------------------(1)
∵
=（-6，-3），·=0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ①--------------(2)
∵
=(x-3，y-2)，∥
∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ②--------------(2)
由①②得：
∴ D（1，1），-----------------------------------------(2)
方法二：
设D（x，y）------------------------------------------(1)
由已知得BC边所在直线方程为：y－2＝(x－3)----------------------(1)
∵AD⊥BC
高AD所在直线方程斜率为：
＝
＝－2----------------------(2)
联立方程组：
----------------------------(2)
∴ D（1，1），---------------------------------------(1)
＝
(－1,2) 
＝(5,0) ----------------------------------------(1)
设向量和向量的夹角为θ
cosθ＝
＝－
---------------------------(2)
θ＝π－arccos
---------------------------------------------------(2)
19、解：（1）由题意得：n和5是方程
－4x－m=0的两个根-------(2)
----------(3)
----------------(1)
（2）
当a>1时，函数y＝
x在定义域内单调递增
由
（－n＋3x＋2－m）>0
得＋3x－3>1-------------------------------------------(2)
即 
＋3x－4>0
x>1 或 x<－4----------------------------(1)
当0<a<1时，函数 y＝x在定义域内单调递减
由： （－n＋3x＋2－m）>0
得：
---------------------------------------------------------- (2)
即： 
------------------------------------(1)
－4<x
或 
<x<1----------------------------------(1)
∴当a>1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），
当0<a<1时原不等式的解集为：（－4，）∪（，1）----------(1)
20、
解：(1)使用2个月可节约使用费相当于现值的50×+50()2=50［
+()2］≈98 .5(元).--------------------------(6)
(2)B型发电机使用3个月节约费用相当于现值的50×［+()2+()3］，使用n个月节约费用相当于现值的50［+()2+…+()n］.
设更换B型发电机至少使用n个月才比较合算，则50［+()2+……+()n］>1000，----------------------------------------------------------------(3)
即50·
>1000.---------------------------------------(2)
∴1.01n>
,nlg1.01>lg
n>
≈
n≈23.--------------(2)
答：若该厂更换B型发电机，则至少使用23月才比更换A型发电机合算--------(1)
21、
解答：（1）函数 f(x)＝
(
－1)
得：－1>0，-------------------------------------------------（1）
>1----------------------------------------------------------（1）
x>0-----------------------------------------------------------（1）
∴的定义域 是
。-----------------------------------（1）
（2）设
是内的两个任意实数，且< 
----------（1）
f( )－f(
)＝
(
－1)－
(
－1)＝
-------------------（1）
由y＝
在定义域内单调递增-------------------------------------（1）
得：
>
>
＝1
－1>
－1>0
>1
>0
f( )－f(
)>0
函数在(0,＋∞)内单调递增------------------------------------------（3）
（3）由f(x)＝(
－1)
得：
(x)＝(＋1)-----------------------------------------------------------------------（1）
F(x)＝
(2x)－f(x)＝
＝
----------------------------------------------（1）
－1>0---------------------------------------------------------------------------------------------（1）
(
－1)＋
≥2
(当且仅当－1＝
，即－1＝
，x＝
(
＋1))
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------（1）
由y＝x在定义域内单调递增
F(x)≥(2
＋2)----------------------------------------------------（1）
当x＝(＋1)时，最小值为(2＋2)-------------------------（1）
22、（1）
-------------------------------------------------------------（1）
解法一： 
有唯一根,
所以
，--------------------------------------------（1）-
，------------------------------------------------------（1）
----------------------------------------------------------------------------------------（1）
有 得：方程的根为：x＝0--------------------------------------------------（1）
经检验x＝0是原方程的根---------------------------------------------------------------------------（1）
解法二：
＝x
x( 
－1)＝0--------------------------------------------------------------------------------------（1）
＝0，因为方程有唯一的根------------------------------------------------------------------（1）
即：－1=0的根也是x＝0，-----------------------------------------------------------------（1）
得
------------------------------------------------------------------------------------------------------（1）
经检验x＝0是原方程的根---------------------------------------------------------------------------（1）
（2）
----------------------------------------------------------（2）
{
}为等差数列
----------------------------------------------------------------------------------（1）
-------------------------------------------------（2）
所以
----------------------------------------------------------（1）
（3）设的首项为
公比为
（
）
所以这个无穷等比数列的各项和为：
，
；
当
时，
，
；
当
---------------------------------------------------------（6）
理 科
一、填空题
1、 2、(-4，1/2) 3、 7 4、240 5、 6、 7、 
8、－2 9、 
10、
11、 101 12、(－∞,－1)∪(3,2＋
)
二、选择题
13、（C ） 14、（ B ） 15、（ B ） 16、（ C ）
三、解答题
17、解：由 ，
得sin(A－)＝---------------------------------------(3)
A－＝kπ＋ (kz)-------------------------------------------(3)
∵A(0, π)
∴A＝-----------------------------------------------(2)
在△ABC中，
＝
＋
－2AB·AC·cosA-------------------(2)
＝19
BC＝
------------------------------------(2)
18解：方法一：
设D（x，y），则=（x-2，y+1）---------------------------(1)
∵=（-6，-3），·=0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ①--------------(2)
∵=(x-3，y-2)，∥
∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ②--------------(2)
由①②得：
∴ D（1，1），-----------------------------------------(2)
方法二：
设D（x，y）------------------------------------------(1)
由已知得BC边所在直线方程为：y－2＝(x－3)----------------------(1)
∵AD⊥BC
高AD所在直线方程斜率为：＝＝－2----------------------(2)
联立方程组： ----------------------------(2)
∴ D（1，1），---------------------------------------(1)
＝
(－1,2) ＝(5,0) ----------------------------------------(1)
设向量和向量的夹角为θ
cosθ＝＝－---------------------------(2)
θ＝π－arccos---------------------------------------------------(2)
19、解：（1）设
为
上任一点，----------------------------（1）
与
关于对称，
关于的对称点
在的图象上，--------（3）
∵f(x)＝＋4x＋3
∴y＝
＋(2－x)＋3＝
－8x＋15
即g(x)＝－8x＋15-----------------------------------------------------------------------（2）
（2）解法一：由关于的不等式 g(x)≥g(a)-4的解集为全体实数，
又因为g(x)的最小值为-1-----------------------------------------------------------------（2）
即： g(a)－4≤－1------------------------------------------------------------------------（3）
－8a＋15－4≤－1
－8a＋12≤0
2≤a≤6-------------------------------------------------------------------------------------（2）
a的最大值6-----------------------------------------------------（1）
解法二：由g(x)≥g(a)-4
得：－8x＋15≥
－8a＋15－4-----------------------------------（1）
－8x－(－8a－4)≥0----------------------------------------------------------------（1）
因为不等式的解集为全体实数
即：△＝64－4(
－8a－4)≤0---------------------------------------------------------（3）
－8a＋12≤0---------------------------------------------------------------------------（1）
2≤a≤6------------------------------------------------------------------------------------（1）
a的最大值6-----------------------------------------------------（1）
20、解：(1)使用2个月可节约使用费相当于现值的50×+50()2=50［+()2］≈98 .5(元).
(2)B型发电机使用3个月节约费用相当于现值的50×［+()2+()3］，使用n个月节约费用相当于现值的50［+()2+…+()n］. -----------------(6)
设更换B型发电机至少使用n个月才比较合算，则50［+()2+……+()n］>1000，------------------------------------------------------------------(3)
即50·>1000.-----------------------------------------(2)
∴1.01n>,nlg1.01>lgn>≈n≈23.----------------(2)
答：若该厂更换B型发电机，则至少使用23月才比更换A型发电机合算----------(1)
21、解(1)
·
＝
·
＝
＋
i-----------------------------------------------------（2）
f(x)＝Re(·
)＝
(
＋1)＋kx--------------------------------------------------------（2）
(2) 设定义域R中任意实数，由函数f(x)是偶函数
得：f(－x)＝f(x)------------------------------------------------------------------------------------（2）
(
＋1)－kx＝(
＋1)＋kx
2kx＝
＝－x
(2k＋1)x＝0
得：k＝－
----------------------------------------------------------（4）
（3）由（2）得：f(x)＝(＋1)－x--
联立方程：
得：(＋1)－x＝
x＋m －－（1）---------------------------------------（1）
解法一： 由方程（1）变形得：m
＝(＋1)－x
＝(
＋1)----------------------------------------------------------------------（1）
设
是R内的两个任意实数，且<
f( )－f(
)＝(
＋1)－(
＋1)＝
由y＝
在定义域R内单调递减
得：
>
>0
＋1>
＋1
0<
<1
<0
f(
)－f(
)<0
函数
在(0,＋∞)内单调递减------------------------------------------（3）
对任意实数m，函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋m的图象的交点最多只有一个。-------------------------------------------------------------------------（1）
解法二：
由方程（1）得：(＋1)＝x＋m
＝
得：＋1＝
(
－1)＝1----------------------------------------------------------------------------------------（1）
m＝0 方程无解-----------------------------------------------------------------------------（1）
m<0 
－1<0 <0方程无解-------------------------------------------------------（1）
m>0 ＝
x＝
方程有唯一解------------------------------------------------------------------------------------------（1）
对任意实数m，函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋m的图象的交点最多只有一个。----------------------------------------------------------------（1）
22、（1）
-------------------------------------------------------------（1）
解法一： 有唯一根,
所以，--------------------------------------------（1）-
，------------------------------------------------------（1）
----------------------------------------------------------------------------------------（1）
有 得：方程的根为：x＝0--------------------------------------------------（1）
经检验x＝0是原方程的根---------------------------------------------------------------------------（1）
解法二：＝x
x( －1)＝0--------------------------------------------------------------------------------------（1）
＝0，因为方程有唯一的根------------------------------------------------------------------（1）
即：－1=0的根也是x＝0，-----------------------------------------------------------------（1）
得
------------------------------------------------------------------------------------------------------（1）
经检验x＝0是原方程的根---------------------------------------------------------------------------（1）
（2） ----------------------------------------------------------（2）
{}为等差数列 ----------------------------------------------------------------------------------（1）
-------------------------------------------------（2）
所以
----------------------------------------------------------（1）
（3）设的首项为公比为（）----------------------------------（1）
所以这个无穷等比数列的各项和为： ，------------------------------------------（1）
；
当时，，；
当 
-----------------------------------------------------------------（2）
若当
时，显然不符合条件。
，则
与
矛盾。
只有两个符合条件的数列。-------------------------------------------------（2）