2007届高三第一次统测数学

北京四中2007届高三第一次统测数学

(试卷满分150分，时间120分钟)

一、选择题(每小题4分，共56分)

1.(理)设f：x→x²是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B等于(　　)

A.{1}　　　　　　　 B.　　　 　　　C.或{1}　　　　　 D.或{2}

2.(理)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是(　　)

A.(-，+∞)　　　　　　　　　　　　　  B.(-，1)

C.(-，)　　　　　　　　　　　　　　 D.(-∞，-)

3.(理)函数y=(-1≤x<0)的反函数是(　　)

A.y=-(<x≤1)　　　　　　　 B.y=-(x≥)

C.y=(<x≤1)　　　　　　　  D.y=(x≥)

4.(理)已知函数在f(x)=log_sin1(x²-6x+5)在(a，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围为(　　)

A.(5，+∞)　　　　　　　　　　　　　　  B.[5，+∞)

C.(-∞，3)　　　　　　　　　  　　　　　 D.(3，+∞)

5.(理)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是(　　)

A.m⊥α，nβ，m⊥nα⊥β　　　　 B.α∥β，m⊥α，n∥βm⊥n

C.α⊥β，m⊥α，n∥βm⊥n　　　　 D.α⊥β，α∩β=m，m⊥nn⊥β

6.(理)已知直线m，n和平面α，那么m∥n的一个必要但非充分条件是(　　)

A.m∥α，n∥α　　　　　  　　　　　 B.m⊥α，n⊥α

C.m∥α且nα　　　　　　　　　　  D.m，n与α成等角

7.(理)正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E为棱AB的中点，则直线C₁E与平面ACC₁A₁所成角的正切值为(　　)

A.　　　　  B.　　　　　  C.　　　　D.

8.(理)设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x²+y²=2相切，则a的值为(　　)

A.±4　　　　　 B.±　　　　C.±2　　　　 D.±

9.(理)若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为(　　)

A.-2　　　　　  B.2　　　　　　 C.-4　　　　　 D.4

10.(理)已知双曲线-y²=1(a>0)的一条准线与抛物线y²=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　 B.　　　　　  C.　　　　D.

11.(理)在()²⁴的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有(　　)

A.3项　　　　　 B.4项　　　　　 C.5项　　　　D.6项

12.(理)显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有(　　)

A.10　　　　　　 B.48　　　　　  C.60　　　　　  D.80

13.(理)设S_n是无穷等比数列的前n项和，若S_n=，则首项a₁的取值范围是(　　)

A.(0，)　　　　　　　　　　　　  B.(0，)

C.(0，)∪()　　　　　　　　  D.(0，)∪(，0)

14.(理)已知函数f(x)=2+log₃x(1≤x≤9)，则函数y=[f(x)]²+f(x²)的最大值为(　　)

A.6　　　　　　  B.13　　　　　 C.22　　　　　　 D.33

二、填空题(每小题5分，共40分)

15.(理)已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m²}，若BA，则实数m=_______________

16.设g(x)=则g[g()]=___________________.

17.(理)设有两个命题：①关于x的不等式mx²+1>0的解集是R，②函数f(x)=log_mx是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是____________________.

18.(理)要得到函数y=3f(2x+)的图像，只须将函数y=3f(2x)的图像向_____________移动________________个单位.

19.如图，将正方形按ABCD沿对角线AC折成二面角D-AC-B，使点B、D的距离等于AB的长.此时直线AB与CD所成的角的大小为____________________.

20.(理)椭圆ax²+by²=1与直线y=-x+1交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线斜率为，则=______________.

21.已知A箱内有1个红球和5个白球，B箱内有3个白球，现随意从A箱中取出3个球放入B箱，充分搅匀后再从中随意取出3个球放人4箱，共有_________种不同的取法，又红球由A箱移人到B箱，再返回到A箱的概率等于___________.

22.定义在(-∞，+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：

①f(x)是周期函数；

②f(x)的图像关于直线x=1对称；

③f(x)在[0，1]上是增函数；

④f(2)=f(0).

其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上)

三、解答题

23.(本小题13分)

(理)已知函数f(x)=2^x-1的反函数为f^-1(x)，g(x)=log₄(3x+1)

(1)用定义证明f^-1(x)在定义域上的单调性；

(2)若f^-1(x)≤g(x)，求x的取值集合D；

(3)设函数H(x)=g(x)-f^-1(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域.

24.(本小题13分)

(理)设点P(x，y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(，0)的距离比点P到x轴的距离大.

(1)求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；

(2)若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且=0，点O到直线l的距离为，求直线l的方程.

25.(本小题14分)

(理)某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.(例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为)

(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线)，使得途中发生堵车事件的概率最小；

(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ.

26.(本小题14分)

(理)如图，矩形ABCD，AB=1，BC=a，PA⊥面ABCD且PA=1

(1)BC边上是否存在点Q，使得FQ⊥QD，并说明理由；

(2)若BC边上存在唯一的点Q使得FQ⊥QD，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，求二面角Q-PD-A的正弦值.

北京四中2007届高三第一次统测数学参考答案

一、选择题(每小题4分，共56分)

1. (理)C　【解析】本题考查了映射的概念及集合的交集运算，属基础知识考查。由已知可得集合且是集合{-，-1，1，}的非空子集，则A∩B=或{1}，应选C.

2. (理)B　【解析】本题考查了函数的定义域及不等式组的求解.

由已知可得<x<1，故应选B.

3. (理)A　【解析】本题考查了指数函数与二次函数的复合函数的反函数的求解.

由-1≤x<0，得x²-1∈(-1，0]，y=∈(，1].

又x²=log₃y+1(-1≤x<0)，∴x=-，

即函数y=　(-1≤x<0)的反函数是y=-(<x≤1)，应选A.

4. (理)B　【解析】本题考查了对数函数与二次函数的复合函数的单调性及字母参数的取值范围的求解问题.由0<sin1<1，可知y=log_sin1u在(0，+∞)上为减函数，

∵f(x)=log_sin1(x²-6x+5)在(a，+∞)上是减函数，

∴函数u=x²-6x+5在(a，+∞)上必为增函数，而u=x²-6x+5在(5，+∞)上是增函数，∴a≥5，故应选B.

5. (理)B　【解析】本题考查了空间平行与垂直的关系的逻辑论证，考查了考生空间想象能力及解决问题的能力.可以利用实物模型虚拟直线与平面，替代摸不到的平面与直线，可简化思维，如B选项α∥β，m⊥α可得m⊥β，又n∥β，则必有m⊥n，应选B，其余选项均可排除.

6. (理)D　【解析】本题考查了空间平行与垂直的关系及充要条件的逻辑论证，考查了考生空间想象能力及逻辑推理能力.“必要但非充分条件是”指的是可由条件“m∥n”推证得ABCD选项中的一个选项中的一个，但反之不成立，由此可得仅D正确.

7. (理)C　【解析】本题以正方体为载体，考查了直线与平面所成角的角度求解问题，考查空间想象能力及空间几何体的构建能力.

取AD中点F，交AC于点M，连接MC，则EF⊥AC，EF⊥A₁A，得EF⊥面ACC₁A₁.

∴∠EC₁M就是直线C₁E与平面ACC₁A₁所成角，

设正方体棱长为4，则EM=2sin45°=，

MC=AC-AM=，

∴MC₁=，

tan∠EC₁M=，故应选C.

8. (理)C　【解析】本题考查了直线与圆的位置关系及直线方程、圆方程在解题中的相互关系的转化与处理.设直线的方程为x-y+a=0，由直线与圆x²+y²=2相切，则有，解之得a=±2，故应选C.

9. (理)D　【解析】本题考查了抛物线及椭圆的标准方程，圆锥曲线的基本量的关系式及字母参数值的求解.椭圆=1的右焦点坐标为(2，0)，抛物线y²=2px的焦点坐标为(，0))，∴=2，即p=4，故应选D.

10. (理)A　【解析】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程，圆锥曲线的基本量的关系式及字母参数值的求解.抛物线y²=-6x的准线方程为x=，则双曲线-y²=1(a>0)的右准线方程为x=解之得a²=3或a²=-(舍去).

∴e=.故应选A.

11. (理)C　【解析】本题考查了二项式定理及二项式展开式的通项公式，无理项及有理项的项数求解问题.二项式()²⁴展开式的通项公式为

,

其中r=0，1，2，…24.当r=0，6，12，18，24时其x的幂的指数是整数，即共有5项，故应选C.

12. (理)D　【解析】本题考查了排列组合的应用，考查了考生灵活应用所学的知识分析与处理问题的能力。将显示的三个孔插入其余的4个不显示的孔中间及左右的5个空中有=10种插法，每个小孔均有显示0或1两种显示方法，则不同的显示信号数为10×2×2×2=80种，故应选D.

13. (理)C　【解析】本题考查了无穷等比数列的前n项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题.由，解得q=1-4a₁，

∵q<1且q≠0，可得，1-4a₁<1且1-4a₁≠0，解之得a₁∈(0，)∪(,)，故应选C.

14. (理)B　【解析】本题考查了复合函数的定义域的求解模式及其最值的求法，考查了考生对基础知识及方法的掌握情况.

y=[f(x)]²+f(x²)=[2+log₃x]²+2+log₃x²

=[log₃x]²+6log₃x+6

=[log₃x+3]²-3(即1≤x≤3)

∵log₃x∈[0，1]，∴当log₃x=1，即x=3时，y_max=16-3=13，故应选B.

二、填空题(每小题5分，共40分)

15. (理)1　【解析】本题考查了集合的子集关系及集合中元素的特征.

由BA可得m²=2m-1，解之得m=1.

16. 　　【解析】本题考查了分段函数概念及其意义，其函数值的求解问题.

g[g()]=g[ln]=.

17. (理)m≤0或m≥1  【解析】本题考查了复合命题的真假判断及字母取值范围的逻辑判断与求解.由关于x的不等式mx²+1>0的解集是R，知命题①是真命题.而由结论知两个命题中有且只有一个是真命题可得命题②为假命题，即得m≤0或m≥1.

18. (理)左，　　【解析】本题考查了函数图像的平移及自抽象函数的解析式的变量特征.在左右平移的过程中变量的量仅为x，与前面的系数是无关的.

∵y=3f(2x+)=3f[2(x+)]，∴只须将函数y=3f(2x)的图像向左平移个单位即可得到函数y=3f(2x+)的图像.

19. 60°　【解析】本题以正方形的折叠为背景，考查了异面直线所成角问题.

如上图所示，分别取AC、AB、BD边的中点O、E、F，连接DO、BO、EO、FO、EF，则有EF∥AD，OE∥BC

∴∠FEO就是直线AB与CD所成的角.

设正方形边长为2a，则DO=BO=，且DO⊥AC，BO⊥AC

即∠DOB为二面角D-AC-B所成的角，

由于DB=2a可得DO⊥BO，

∴OF=DB=a=EF=EO，即得∠FEO=60°，

即得直线AB与CD所成的角的大小为60°.

20. (理)　　【解析】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，考查了考生对“设而不求法”的掌握.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则ax₁²+by₁²=1　①，ax₂²+by₂²=1　②，①-②式可得a(x₁-x₂)(x₁+x₂)+b(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0，

从而得.

21. 400　0.25　【解析】本题考查了排列组合在投球入盒问题中的应用，相互独立事件同时发生的概率的事件的分析与概率的求解.从A箱中取出3个球有=20种取法，再从B箱中取出3个球有=20种取法，故共有20×20=400种不同的取法.

红球由A箱中取出的概率为，

再从B箱中取回红球的概率为.

则红球由A箱移入到B箱，再返回到A箱的概率等于P(A·B)=P(A)·p(B)==0.25.

22. ①②④　【解析】本题以开放题形式出现，全面地考查了抽象函数的周期性、奇偶性、单调性、函数图像的对称性等性质的探究，

由f(x+1)=-f(x)，可得f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x)，∴f(x)是周期函数，且2是其一个周期，∴f(2)=f(0).即得①④正确；

∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)=f(x+2)，

∴f(x)的图像关于直线x=1对称，即得②正确；

∴f(x)为偶函数，且在[-1，0]上是增函数，

∴f(x)在[0，1]上是减函数，即得③错误.故应填①②④。

三、解答题

23. (理)(1)解：函数f(x)的值域为(-1，+∞)，

由y=2^x-1得x=log₂(y+1)，

所以f^-1(x)=log₂(x+1)(x>-1)　(2分)

任取-1<x₁<x₂，

f^-1(x₁)-f^-1(x₂)=log₂(x₁+1)-log₂(x₂+1)-log₂=

由-1<x₁<x₂得0<x₁+1<x₂+1，因此0<<1得log₂<0

所以f^-1(x₁)<f^-1(x₂)故f^-1(x)在(-1，+∞)上为单调增函数.(5分)

(2)f^-1(x)≤g(x)即

log₂(x+1)≤log₄(3x+1)(7分)

解之得0≤x≤1，所以D=[0，1]　(9分)

(3)H(x)=g(x)-f^-1(x)=log₄(3x+1)-log₂(x+1)=(10分)

由0≤x≤1得1≤3-≤2，

所以0≤log₂(3-)≤　 (12分)

因此函数H(x)的值域为[0，]　(13分)

24. (理)(1)用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y²=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线.(6分)

(2)当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，联立x=与y²=2x可求得A()，B()，不符合=0　(7分)

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b(k≠0，b≠0)，联立y=kx+b与y²=2x，化简得ky²-2y+2b=0　(9分)

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁y₂=

=0x₁x₂+y₁y₂=0+y₁y₂=0

y₁y₂+4=0+4=0b+2k=0　①(11分)

又O到直线l距离为得　　  ②(12分)

联立①②解得k=1，b=-2或k=-1，b=2，所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2(13分)

25. (理)解：(1)记路段MN发生堵车事件为MN.

因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P₁为

1-P()=1-P()·P()·P()

=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]=1-；(3分)

同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂为1-P()=(小于)(4分)

路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P₃为1-P()=(大于)　(5分)

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.

因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小.(6分)

(2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3.(7分)

P(ξ=0)=P()=.　(8分)

P(ξ=1)=P(AC·)+P(·CF·)+P()

=(10分)

P(ξ=2)=P(AC·CF·)+P(AC··FB)+P(·CF·FB)

(12分)

P(ξ=3)=P(AC·CF·FB)=，

∴Eξ=0×+1×

答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为.　(14分)

26. (理)解：(1)若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD.(2分)

矩形ABCD中，当a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q使AQ⊥QD，(3分)

故仅当a≥2时才存在点Q使PQ⊥QD；(4分)

(2)当a=2时，以AD为直径的圆与BC相切于Q，此时Q是唯一的点使∠AQD为直角，且Q为BC的中点.作AH⊥PQ于H，可证∠ADH为AD与平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求得sin∠ADH=　(9分)

(3)作AG⊥PD于G，可证∠AGH为二面角Q-PD-A的平面角，且在Rt△PAD中可求得sin∠AGH=　(14分)