高三数学第一次月考试卷

高三数学第一次月考试卷

数　　学（文史类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：　　　　　　　　　　　　　　　　 正棱锥、圆锥的侧面积公式

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　　　　　　　　

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么　　　　　　　 其中，c表示底面周长、l表示斜高或

P（A·B）=P（A）·P（B）　　　　　　　　  母线长

如果事件A在1次实验中发生的概率是　　　　球的体积公式

P，那么n次独立重复实验中恰好发生k　　　　　　　 

次的概率　　　　　　　　　　　　　　　　　 其中R表示球的半径

第I卷（选择题　共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

１．设集合M=｛x｜x²-x＜0,x∈R,N=｛x｜｜x｜＜2,x∈R，则

Ａ．N  M　　 　Ｂ．M∩N=M　 　　Ｃ．M∪N=M　　　Ｄ．M∪N=R

２．已知向量a＝(－1，)，向量b＝(，－1)，则a与b的夹角等于

Ａ．　　　　　　　　 　Ｂ．　　　　　　　　　　　Ｃ．π　　　　　　　　 Ｄ．π

３．已知函数f(x)=3^x－1，则它的反函数y=f^－1(x)的图象是

　　Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．

４．若，则…的值为

Ａ．　　　　 Ｂ．　　　　　 　 Ｃ．　　Ｄ．

５．“p或q为真命题”是“p 且q为真命题”的

Ａ．充分不必要条件；　　　　　　　　　Ｂ．必要不充分条件；

Ｃ．充要条件；　　　　　　　　　　　　Ｄ．既不充分又不必要条件　

６．曲线y=2x⁴上的点到直线y=－x－1的距离的最小值为

Ａ．　　　　　　　　 Ｂ．　　　　　　　　　　　　Ｃ． 　　　　　　　　　　 Ｄ．

７．从P点引三条射线PA，PB，PC，每两条射线夹角为60°，则平面PAB和平面PBC所成二面角正弦值为

　　　 Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　　　　　　　　　　　 Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．

８．如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点,当时,其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推算

出“黄金双曲线”的离心率e等于

　　Ａ．　　 　　　　　　　　　　　 Ｂ． 　

Ｃ．　　  　　　　　　　　　　　 Ｄ．

９．如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305，414，879等，则称这个三位数为凹数，那么所有凹数的个数是

Ａ．240　　　　　　　　　Ｂ．285　　　　　　　　　　 　Ｃ．729　　　　　　　　　 Ｄ．920

10．已知二次函数，当n依次取时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为

Ａ．1　　　　　　Ｂ．　　　　  　　Ｃ．　　　　　 Ｄ．

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．

11．已知x,y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为　　　　  .

12．已知函数=，则　　　　　  ．

13．设，则直线的倾斜角是　　　　　　 ．

14．从圆的10等分点中任取3个点，可组成一个三角形. 现从这10个点任取3个点，要构成直角三角形的概率是　　　　 ．

15．观察下列的图形中小正方形的个数，则（i）第6个图中有　　　　 个小正方形，

（ii）第n个图中有　　　　　  个小正方形.

三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)已知函数．（１）求函数　

的单调递增区间；（２）若将的图象按向量平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数的图象，试写出的解析式　

17．(本小题满分12分)在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率为；乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是．（１）求乙、丙各自击中目标的概率；（２）求目标被击中的概率．

18．(本小题满分12分)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AB=AC=AA₁=3a,

BC=2a,D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a.

（１）求证：B₁F⊥平面ADF；

（２）求平面ADF与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

19．(本小题满分12分){a_n},{b_n}都是各项为正数的数列，对任意的正自然数n，都有a_n、b_n²、a_n+1成等差数列，b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比数列．（１）试问{b_n}是否是等差数列？为什么？

（２）求证：对任意的正自然数p,q(p＞q),b_p－q²+b_p+q²≥2b_p²成立；（３）如果a₁=1,b₁=，

S_n=，求S_n．

20．(本小题满分13分)已知动点P与双曲线=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为定值，且cosF₁PF₂的最小值为－．（１）求动点P的轨迹方程；（２）若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上，且=λ，求实数λ的取值范围．

21．(本小题满分14分)已知是定义在R上的函数，其图象交x轴于A、B、C三点若点B的坐标为(2，0)，且f(x)在[－1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性（１）求c的值；（２）在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x₀，y₀)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（３）求AC 的取值范围．

数　　学（文史类）参考答案

1.  B　２．C　３ D　 4　B　 ５． B　6.Ｄ　７．A　８．A　９．B　10．B

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．

11．1

12．5

13． ．

14． ．

15．

16．

解:（１）∵f(x)=2cos²x-2sinxcosx- =(cos2x+1)-sin2x-=2cos(2x+)

　　．…………6分

(２)f(x)=2cos(2x+)

　　∴g(x)=2cos(4x+)．…………12分

17

解：（１）记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A、B、C．

则由已知，得P(A)=,P(·)=P()P()=[1-P(C)]=,∴P(C)=………3分

由P(B·C)＝P(B)P(C)=，得P(B)=，∴P(B)＝.　　　…………8分

（２）目标被击中的概率为

1-P(··)＝1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-)(1-)(1-)=,………10分

答：(1)乙、丙各自击中目标概率分别为，;(2)目标被击中的概率为.………12分

18．

解：法1 （1）因为AB=AC,D是BC的中点，所以AD⊥BC．

又平面CC₁B₁B⊥ABC ，

则AD⊥平面CC₁B₁B. B₁F 在平面CC₁B₁B内， AD⊥B₁F．

……………………………………………………………3分

在矩形CC₁B₁B中

tan∠C₁B₁F=tan∠CFD=，所以∠C₁B₁F=∠CFD ，

∠C₁FB₁+∠CFD=∠C₁FB₁+∠C₁B₁F=90⁰,

因此FD⊥B₁F ,即证B₁F⊥平面ADF；………………6分

（２）延长FD，B₁B交于G，则AG为所求二面角的棱．

由RtΔFCD≌RtΔGBD,所以CF=GB=2a.过B₁作B₁H⊥　　

AG,且B₁H与AG交于H.又 B₁F⊥平面ADF，FH⊥AG，　　

∠B₁HF为所求二面角的平面角. ……………………9分

由RtΔABG∽RtΔB₁HG ,解得B₁H =.而

B₁F=， =，sin∠B₁HF=，

即所求二面角的正弦值是．　……………12分

法2：以D为坐标原点，DA　DB　DD₁分别为x　y　z轴建立空间直角坐标

系（D₁是C₁B₁的中点），易知A（2a,0,0）, B(0,a,0) ,F(0,-a,2a), B₁(0,a,3a), …3分

, ,,由

且，得B₁F⊥DF, B₁F⊥DA,即B₁F⊥平面ADF；　…………6分

（２）由（1）知，，

设平面AA₁B₁B的一个法向量为，则

且，

可取，…9分

　　由cos<,>==-得，

　　sin<,>=.即所求值.…………12分

19．

解：依题意2b_n²=a_n+a_n+1，　　　　　　　 ①　　　　a_n+1²=b_n²·b_n+1².　　　　　　　　　　　　　　②

(1)∵a_n＞0，b_n＞0，∴由②式得a_n+1=b_n·b_n+1，从而n≥2时，a_n=b_n－1·b_n,

代入①2b_n²=　　　 b_n－1b_n+b_nb_n+1,

∴2b_n=b_n－1+b_n+1(n≥2),∴{b_n}是等差数列．…………………………………………4分

(2)因为{b_n}是等差数列，∴b_p－q+b_p+q=2b_p.

∴b_p－q²+b_p+q²≥.　　 …………………………………………8分

(3)由a₁=1,b₁=及①②两式易得a₂=3,b²=，

∴{b_n}中公差d=，∴b_n=b₁+(n－1)d=(n+1),

∴a_n+1=(n+1)(n+2).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

又a₁=1也适合③,∴a_n=(n∈N),∴,

∴S_n=2［1－］=2(1－),　……………………12分

20．

解：（１）由题意c²=5，设PF₁+PF₂=2a(a＞)，由余弦定理

得cosF₁PF₂==－1．

又PF₁·PF₂≤()²=a²，　…………………………………………3分

当且仅当PF₁=PF₂时，PF₁·PF₂取最大值，

此时cosF₁PF₂取最小值－1，令－1=－，解得a²=9_.

∵c=，∴b²=4，故所求P的轨迹方程为=1………………………………6分

（３）设N(s，t)，M(x，y)，则由=λ，可得

(x，y－3)=λ(s，t－3)，故x=λs，y=3+λ(t－3)， …………………………………9分

∵M、N在动点P的轨迹上，故=1且+=1.

消去s，可得=1－λ²，

解得t=.又t≤2，∴≤2，解得≤λ≤5.

故实数λ的取值范围是［，5］.　………………………………………………13分

21．

解：（１），依题意在和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f(x)的一个极值点，故，得c=0　　…………………………3分

（２）因为f(x)交x轴于点B(2，0)，

∴，即　 …………………………………………5分
令得
因为f (x)在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，∴在[0，2]和[4，5]上有相反的符号，故2≤≤4Þ－6≤≤－3　……………………………………7分
假设存在点M(x₀，y₀)使得f (x)在点M的切线斜率为3b，则f ^/(x₀) =3b，
即，
而－6≤≤－3，∴△＜0，

故不存在点M(x₀，y₀)，使得f (x)在点M的切线斜率为3b．……………………9分

（３）设，依题意可令

则即　　……………………………………11分
∴
∵－6≤≤－3，∴当时，；
当时，，故3≤ AC ≤4 　　…………………………14分