高三数学训练卷（一）
本试卷共150分 考试时间120分钟
一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分）
1. 以下可以估计总体稳定性的统计量是 ( )
A. 样本平均数 B. 样本中位数 C. 样本方差 D. 样本最大值
2. 函数
y的反函数是
( )
A. 
B.
C. 
D.
3. 若向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量. 直线
的一个法向
量为 ( )
A. 
B.
C. 
D.
4. 设等差数列
的前n项的和是
，且
，则
( )
A. 
B.
C. 
D.
5. 已知
的三个顶点在同一球面上，
若球心
到平面
的距离为1，则该球的半径为
( )
A. 1
B. 
C.
D. 2
6. 当
时，函数
的最小值为
( )
A. 
B. 3
C. 
D. 4
7. 若函数
的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为
( )
A. 
B. 
C. 
D.
8. 函数
的图像大致是
( )
9. “
”是“直线
与圆
相切”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知函数
满足
，且当
时，
. 设
，则
( )
A. 
B. 
C. 
D.
11. 若M是直线
上到原点的距离最近的点，则当
在实数范围内变化时，动点M的轨迹是
( )
A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 椭圆
12. 将三种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物，且同一种作物在相邻的试验田中，不同的种植方法有 ( )
A. 24种 B. 36种
C. 42种 D. 48种
二、填空题（本大题共6小题；每小题4分，共24分）
13. 设集合
，
. 若
，则
.
14. 设周期为4的奇函数的定义域为R，且当
时，
，则
的值为
.
15. 已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点在y轴上，它的虚轴长为2，且焦距是两准线间距
离的2倍，则该双曲线的方程为 .
16. 设
且
. 若
，则的值为
.
17. 在中，若
，则
的值为
.
18. 已知
，
，
. 若将坐标平面沿x轴折成直二面角，则折后
的余弦值为
.
三、解答题（本大题共5小题,共66分）
19. (本小题满分12分)
一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为p ，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为
.
(1)
若
，求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率;
(2)
若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过
，求p的取值范围.
20. (本小题满分12分)
如图，在正方形
—
中，
为
的中点.
(1) 求
和
所成的角
(2) 证明：平面
平面
;
(3) 求二面角——
的大小. (用反三角函数表示)
21. (本小题满分14分)
已知函数
直线l ：
.
(1) 求证：直线l与函数
的图像不相切;
(2) 若当
时，函数的图像在直线l的下方，求c的范围.
22. (本小题满分14分)
已知函数
数列中，
. 当a取不同的值时,得到不同的数列，如当
时，得到无穷数列
当
时，得到有穷数列
(1) 求a的值，使得
;
(2) 设数列
满足
求证：不论a取中的任何数，都可以得到一个有穷数列;
(3) 求a的取值范围，使得当
时，都有
.
23. (本小题满分14分)
(1) 已知抛物线
过焦点
的动直线l交抛物线于
两点，为坐标原点,求证：
为定值;
(2) 由 (1) 可知：过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点，存在定点
，使得
为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.
高三数学训练卷（一）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | B | A | D | C | B | C | C | A | D | C | B |
二、填空题（每小题4分，共24分）
13.
14. 23 ;
15.
16. 11 ;
17. 
18. 
三、解答题（共66分）
19.（本小题满分12分）
解：(1) 记该学生在第
个交通岗遇到红灯
，
答：该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率为
……………6分
(2) 该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯（记为A）或恰好遇到一次红灯（记为B）
……………7分
…………………9分
……………11分
又
所以p的取值范围是
……………12分
20.（本小题满分12分）
解：(1) 正方体中，
，
与所成的角为
或其补角.
，和所成的角为
……………4分
(2) 取的中点
的中点
连结
平面
，
.
又
，
平面.……………6分
,
四边形
是平行四边形，
平面
……………7分
又
平面，平面
平面……………8分
(3) 连结
. 
又
平面，
为二面角——的平面角. …………10分
设正方形的边长为a，则在
中，
……………11分
二面角——的大小为
…………12分
21.（本小题满分14分）
解：(1) 证明：
……………2分
假设直线l ：与函数的图像相切，则
有实数解，即
有实数解. ……………5分
因为
时，方程无实数解，所以直线l与函数的图像不相切.……………7分
(2) 当
时，函数的图像在直线l的下方，
即
对于一切都成立，……………9分
即
对于一切都成立. ……………10分
令
因为
所以在
上单调递减，……………12分
所以当时，
……………13分
所以
，所以c的范围是
……………14分
22.（本小题满分14分）
解：(1) 因为
所以
……………2分
要
即要
. 所以，时，
……………4分
(2)由题知
不妨设a取
，
所以
……………6分
……,
所以
……………8分
所以不论a取中的任何数，都可以得到一个有穷数列.……………9分
(3) 
……………11分
因为
，所以只要有
就有
……………12分
由
，解得：
，即
.
所以，a的取值范围是.……………14分
23.（本小题满分14分）
解：(1) 若直线l垂直于x轴，则
，
.
……………2分
若直线l不垂直于轴，设其方程为
，
.
由
……………4分
.
综上，
为定值. ……………6分
(2) 关于椭圆有类似的结论：过椭圆
的一个焦点的动直线l交椭圆于
、
两点，存在定点，使为定值. ……………7分
证明：不妨设直线l过椭圆
的右焦点
其中
若直线l不垂直于轴，则设其方程为：
，.
由
得：
所以
……………9分
由对称性可知，设点在x轴上，其坐标为
所以
要使为定值，
只要
即
此时
……………12分
若直线l垂直于x轴，则其方程为
，
，
.
取点
有
……………13分
综上，过焦点
的任意直线l交椭圆于、两点，存在定点
使
为定值. ……………14分