高三数学周练12
一、选择题:本大题共4小题
1．27.如图, 已知正六边形
，下列向量的数量积中最大的是（A ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2 (理)．已知定义域为R的函数f(x)满足
，且当x>2时，
f(x)单调递增，如果
（A）
A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为0 D.可正可负
2.(文) 设函数f(x)在定义域内可导，y= f(x)的图象如右图所示，
则导函数y= f′(x)的图象可能为 （ D ）
3.若不等式
对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（C）A.
B.
C.
D.
4(理)．某学生对函数
进行研究，得出如下四个结论：①函数
在
上单调递增；②存在常数
，使
对一切实数
均成立；③函数在
无最小值，但一定有最大值；④点
是函数
图象的一个对称中心。其中正确的是
( B )
A．①③ B．②③ C． ②④ D． ①②④
4(文)．已知函数
图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆
上，则
的最小正周期为 （ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
5．对于定义在R上的函数
，若存在实数x0满足
= x0，则称x0为函数的一个不动点．若二次函数=
在其定义域R上至多有一个不动点，则实数a的取值范围是 ▲ ．
5．
．
6．已知
．我们把使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2004）内的所有劣数的和为
．
6．∵
n＋2＝2k，由n＝2k－2∈(1，2004)有2≤k≤10(k∈Z)．故所有劣数的和为（22＋23＋……＋210）－2×9＝
－18＝2026．
三、解答题
7．如图2，在长方体
，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为
。
（1）求证：D1E⊥A1D；
（2）求AB的长度；
|
。若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由。
7．解一：
（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
|
（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C1可能有两种途径，
如图甲的最短路程为
|
………………9分
（3）假设存在连结DE，设EB=y，过点D在平面ABCD内作DH⊥EC，连结D1H，则∠D1HD为二面角
的平面角，
……………………………………11分
即
|
（1）如图建立空间坐标系设
AE=a
则E（1,a,0）， D1（0,0,1）]，A1（1，0，1）
………………………4分
（2）同解法一
（3）假设存在，平面DEC的法向量
设平面D1EC的法向量
，则
……………………………………12分
由题意得：
解得：
（舍去）
………………14分
8 .(理).已知
数列
满足下列条件：
， 
，
( 1 )求
的解析式；
（2）求
的通项公式；（3）试比较
与
的大小，并加以证明.
8.解：（1）
① 
②
由①②可得，
（2）
，两式相减得
，
即
，则有
且
， 
，则
．
（3）
① 又
②
由①②可得，
8．(文) 设数列
是首项为6，公差为1的等差数列；
为数列
的前
项和，且
（1）求及的通项公式
和；
（2）若
，问是否存在
使
成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；
8．解：
（1）
1分
又当
时，
当
时,
上式对也成立，
∴
，
总之，
4分
（2）由已知
∴当为奇数时，
为偶数,
由，得
,
∴
（舍去）
6分
当为偶数时，为奇数，
由，得
，
即
，∴
适合题意。
总之，存在整数，使结论成立 8分
9.(理)
已知函数f（x）=x2−alnx在（1，2
是增函数，g（x）=x−a
在（0，1）为减函数．
（Ⅰ）求f（x）、g（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：当x>0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（Ⅲ）当b>−1时，若f（x）≥2bx−
在x∈（0，1内恒成立，求b的取值范围．
9.解：（Ⅰ）f/（x）=2x−
…………1分
依题意f/（x）≥0在x∈（1，2]上恒成立，
∴ a≤2x2，
∴ a≤2． …………2分
又g/（x）=1−
， …………3分
依题意g/（x）<0在x∈（0，1）上恒成立，
∴ a>2，
∴ a≥2． …………4分
∴ a=2
∴f（x）=x2−2lnx，g（x）=x−2 …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，方程为x2−2lnx
= x−2+2，即x2−2lnx− x+2−2=0．
设h（x）= x2−2lnx− x+2−2，
由h/（x）=2x−
−1+
， …………6分
令h/（x）>0，
∵x>0，∴（−1）（2x+2x++2）>0，
解得 x>1． …………7分
令h/（x）<0，
∵ x>0，∴（−1）（2x+2x++2）<0，
解得 0<x<1． …………8分
由
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| h/（x） | − | 0 | + |
| h（x） | 递减 | 0 | 递增 |
即h（x）在x=1处有一个最小值0，即当x>0且x≠1时，h（x）>0，∴h（x）=0只有一个解．
所以当x>0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解． …………9分
（Ⅲ）∵f/（x）=2x−=
，
∴当x∈（0，1]时f（x）为减函数，其最小值为1． …………11分
令y=2bx−，则y/=2b+
．
∵b>−1，x∈（0，1]，∴y/>0在（0，1]恒成立．
∴函数y=2bx−在x∈（0，1]为增函数，其最大值为2b−1． …………13分
依题意
，解得−1<b≤1为所求范围． …………14分
9．(文)
已知函数
在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减．
（1）求a的值；
（2）设
，若方程
的解集恰好有3个元素，求
的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数对
，使
为偶函数？如存在，求出
如不存在，说明理由．
9．解：（1）
，由已知
在
上的值为正,
在
上的值为负．
故
是方程
之根，
． 3分
（2）由
有三个相异实根，
故方程
有两个相异的非零根．
且
.
． 7分
（3）
为偶函数， 10分
由（2）知
．
．