安徽省舒城中学2008届高三第二次月考数学（文科）试卷
一、选择题（5分×12=60分）
1.为了了解舒城县今年学生的高考成绩,从1万4千名考生中抽取了100名学生的成绩进行统计,在这个问题中,下列表述正确的是( )
A. 1万4千名考生是总体 B.样本容量是100
C. 每一名学生是个体 D.100名学生是总体的一个样本
答案:B
2.某同学使用计算器求
个数据的平均数时，错将其中一个数据
输入为
，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )
A
B 
C 
D 
答案:B
3.一组数据1，2，3，4，5的标准差为（ ）
A.3
B.
C.2
D.
答案：D
4.一个容量为20的样本数据,分组后组距与频数如下表:
| 组距 | (10,20] | (20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] | (60,70] |
| 频数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 |
则样本在(10,50]上的频率为( )
A.
B.
C.
D.
答案:D
5.高三(1)班上次数学测验成绩的频率分布直方图如图所示,则成绩在(60,80]的频率为( )
A.0.025 B.0.25
C.0.50 D.0.40
答案:C
6.采用简单随机抽样从含有n个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,若个体a前2次未被抽到,第3次被抽到的概率等于个体a未被抽到的概率的
倍,则个体a被抽到的概率为(
)
A. B.
C.
D.
答案：A
[析]
由题意得
=
×，解得n=6， 则个体a被抽到的概率为.
7.函数f(x－1)=2x2－x,则f
(x)=(
)
A．4x+3 B．4x-1 C．4x-5 D．4x-3
答案：A
8.函数y=ax2＋1的图象与直线y=－x相切,则a=（ ）
A．
B．
C．
D．1
答案:B
【解析】y′=2ax，设切点为（x0,y0），则2ax0=－1，
∴x0=－
， y0= 代入y=ax2＋1得=
＋1，∴a=．故选B
9．己知函数f（x）=ax3＋bx2－3x在x=±1处取得极值,则函数f（x）在区间[－2, 2]上的最大值为（ ）
A．14 B．8 C．－2 D．2
答案:D
【解析】f(x)=3ax2＋2bx－3，依题意f(1)=0 ，f(－1)=0，
即
解得 a=1, b=0．∴f（x）=x3－3x，当x∈[－2, 2]时,
f（－2）=－2 ，f（2）=2，f（－1）=2，f（1）=－2 ,∴fmax=2，故选D．
10．若函数y=f（x）的图象过原点且它的导函数y= f(x)的图象
是如图所示的一条直线,则y=f（x）图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案:C
【解析】由题意可设f（x）=ax2＋bx＋c，函数f（x）的图象过原点
得C=0，f(x)=2ax＋b由图知a＞0, b＞0，
∴－
＜0，
＜ 0，即顶点在第三象限,故选C．
11．某质点开始运动时，路程S关于时间t的函数为S（t）=t3＋（2t－1）2,则t=1秒时质点的加速度是（ ）
A．14 B．7 C．2 D．5
答案:A
【解析】S（t）=t3＋4t2－4t＋1，V（t）=3t2＋8t－4，a（t）=6t＋8，
∴当t=1时，a=6＋8=14，故选A．
12．设函数f（x）=xm＋ax的导函数为f(x)=2（x＋1）,则数列
(n∈Nж)的前n项和是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案:D
【解析】∵f（x）=xm＋ax， f(x)=2（x＋1）
∴m=2 ，a=2 ∴f（x）=x2＋2x 即f（n）=n2＋2n=n（n＋2）
∴数列（n∈Nж）的前项和为：
Sn=
＋
＋
＋
＋……＋
＋
=[（1－
）＋（－）＋（－
）＋（－
）＋……＋（
－
）＋（
－
）]= [1＋－－]=，故选D．
二、填空题（4分×4=16分）
13.若f（x）=x3，则f
(－2)= ，[f（－2）]=
.
答案：12；0
14.函数y=(x＋1)(x2－1)的单调递增区间是 .
答案:(－∞,－1)和(
,＋∞)
15.高三(1)班授课老师、男生、女生人数之比为3∶7∶8，现在要用分层抽样法从中抽取n人去欢迎某奥运冠军来校参观,若被抽取的男生为14人,则被抽取的总人数n= .
答案:36
16.如图是函数y=f(x)的导函数y= f(x)的图象,则下面哪些判断是正确的,请将正确答案的序号填在
上.
A.在区间 (－2,1)内, f(x)是增函数；
B.在区间（1，3）内, f(x)是减函数；
C.在区间（2，4）内，f(x)是减函数；
D.在区间（4，5）内，f(x)是增函数；
E.当x=0时，f(x)能取到极大值；
F.当x=1时，f(x)能取到极大值；
G.当x=2时，f(x)能取到极大值；
H.当x=4时，f(x)能取到极大值.
答案：C、D、G.
三、解答题（12分×5＋14分）
17.（本题满分12分）
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则
即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为
、
、
、
，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.
（注：本小题结果可用分数表示）
解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第
轮的问题”的事件为
，
则
，
，
，
，
所以该选手进入第四轮才被淘汰的概率
．
（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
．
18.(本题满分12分)
在抛物线
上，哪一点的切线处于下述位置？
（Ⅰ）与x轴平行
（Ⅱ）平行于第一象限角的平分线.
（Ⅲ）与x轴相交成45°角
解：
=－2x
(Ⅰ)当切线与x轴平行时，导数
，即
，所以在点（0，2）的切线与x轴平行.
(Ⅱ)当切线平行于第一象限角的平分线，导数
，即
，所以在点（
，
）的切线平行于第一象限角的平分线.
(Ⅲ)与x轴相交成45°角，导数为1或－1，
若导数，即，求得点为（，）；
若导数，即
，求得点为（，）.
所以在点（，）、（，）与x轴相交成45°角.
19.（本题满分12分）
经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应概率如下：
| 排队人数 | 0～5 | 6～10 | 11～15 | 16～20 | 21～25 | 25以上 |
| 概率 | 0.1 | 0.15 | 0.25 | 0.25 | 0.2 | 0.05 |
求:（Ⅰ）每天不超过20人排队结算的概率是多少?
（Ⅱ）一周7天中,若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口?
解：（Ⅰ）每天不超过20人排队结算的概率为：
P=0.1＋0.15＋0.25＋0.25=0.75
（Ⅱ）每天超过15人排队结算的概率为：0.25＋0.2＋0.05=；
一周7天中没有出现超过15人结算的概率为C
（）
；
一周7天中有一天出现超过15人结算的概率为C
（）（）6=
C（）；
一周7天中有两天出现超过15人结算的概率为C 
（）2（）5=
C （）；
∴有3天以上（含3天）出现超过15人结算的概率为1－[C（） ＋C（）＋
C （）]=
＞0.75，
所以该商场需要增加结算窗口.
20.(本题满分12分)
某种杂志成本是每本2元,原以每本2.5元的单价销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元,问x为何值时,能获得最大利润?最大利润是多少?
分析:
| 成本(元) | 单价(元) | 销售量(万本) | 利润(万元) | |
| 提价前 | 2 | 2.5 | 8 | (2.5－2)×8=4 |
| 提价后 | 2 | x | 8－ | y |
解:设总的利润为y万元.于是
y=(x-2)( 8－
)=－2x
＋17x－26,(2＜x＜6.5)
令y=－4x＋17=0,得x=
时,y有最大值
(万元)
21.(本题满分12分)
设函数f（x）=x3＋bx2＋cx＋d（x∈R）的图象过原点且g（x）=f（x）＋f（x）是奇函数.
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）过点（2，－4）分别作f（x），g（x）的切线,求两条切线的夹角.
解:（Ⅰ）函数f（x）的图象过原点得：d=0
则g（x）=x3＋bx2＋cx＋3x2＋2bx＋c
=x3＋（b＋3）x2＋（c＋2b）x＋c
由g（x）是奇函数得：c=0；
又g（－x）=－g（x）得： b＋3=0 即b=－3
∴f（x）=x3－3x2 ，g（x）= x3－6x.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点（2，－4）在f（x）上,也在g（x）上，
设f（x）的切线为l1，斜率为k1，
k1= f（2）=3x2－6x
=0；
设g（x）的切线为l2，斜率为k2，
k2= g（2）=3x2－6 =6；
∴两条切线的夹角为arctan6.
22．（本题满分14分）
设函数y=（sinx＋a）（cosx＋a）＋a3－（8－
）a＋
，x∈R，其中a＞，将y的最小值记为g（a）.
（Ⅰ）求g（a）的表达式；
（Ⅱ）讨论g（a）在区间[，＋∞)内的单调性并求极值.
解:（Ⅰ）y=sinx
cosx＋a（sinx ＋cosx）＋a2＋a3－（8－）a＋.
令sinx ＋cosx=t, t∈[－，]，则sinx cosx=
，
∴y=＋at＋a2＋a3－（8－）a＋
=（t＋a）2＋
－＋a3－（8－）a＋，
又∵t∈[－，]，a＞
∴当t=－时 ymin=－a＋a2＋a3－（8－）a＋
=a3＋a2－8a＋2，
即g（a）=a3＋a2－8a＋2.
（Ⅱ）g（a）= a2＋2a－8=（a－2）（a＋4），
令g（a）=0得a=2或a=－4.
所以g（a）在区间（
，2）上是单调递减函数, 在区间（2,＋∞）上是单调递增函数.当a=2时,g（a）有极小值,极小值为－
.