安徽省舒城中学2008届高三第二次月考数学（理科）试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集
, 集合
则CU A=
（ ）
A 
B 
C
D 
选A.
2．设全集I={1,3,5,7,9}，集合A={1，a－5，9}， CI A={5,7}，则a的值是 ( )
A.2 B.8 C.－2或8 D.2或8
(验证)若a=－2,则A={1,7,9} CI A={3,5}不合条件，若a=2,则A={1,3,9}, CI A={5,7},满足条件；若a=8则A={1,3,9}，仍符合条件，故选D.
３．已知命题p∶x≥1，命题q∶x2≥x，则
是
的
（ ）
A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 选A.
４．若集合
，则M∩P= （ ）
A．
B．
C．
D．
故选C.
５．函数
是减函数的区间为 ( )
A．
B．
C．
D．（0，2）
解：由
＜0，得0<x<2 ∴函数是减函数的区间为（0，2）,故选D
６．若复数z满足z-
=
，则z等于 （ ）
A．-3+4i B．-3-4i C．3-4i D．3+4i 选D.
７．下列函数中既是奇函数，又在区间［－1，1］上单调递减的是 （ ）
A.f(x)= sinx B.f(x)=－x+1 C.f(x)=
(ax+a－x)
D.f(x)=ln
解：用排除法，A是增函数，B不是奇函数，C是偶函数.，故选D.
8．函数y=loga x在x∈［2，+∞］上总有y>1，则a的取值范围是 （ ）
A.0<a<或1<a<2 B.<a<1或1<a<2 C.1<a<2
D.0<a<或a>2
解： 由f(x)=y=logax的图象可知loga2>1,分a>1与0<a<1求解.，故选B.
9．已知f(x)=
,则f(－9)等于
（ ）
A.－1 B.0 C.1 D.3
解：由题意得f(－9)=f(－9+3)=f(－6)=f(－6+3)=f(－3)=f(－3+3)=f(0)=f(0+3)=f(3)=log33=1,故选C.
点评：本题考查分段函数的运用及其有关计算问题.
10．定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x+8)=f(x)+f(4)，且x∈［0，4］时f(x)=4－x，则f(2005)的值为 （ ）
A.－1 B.1 C.－2 D.0
解： 由f(4)=0知周期为8，则f(2005)=f(5)=f(－3)=f(3)=1.，故选B.
11．已知正实数x1,x2及函数f(x),满足4x=
,且f(x1)+f(x2)=1,则f(x1+x2)的最小值( )
A.4
B.2
C. 
D.
解： 由4x=得出f(x)= 
.由4x1=
,4x2=
两式相乘，并注意到关系f(x1)+f(x2)=1得4
=
=
=1+
≥1+
=9(当f(x1)=f(x2)=时取得等号).于是f(x1+x2)=
=1－
≥1－
=.，故选C.
12．已知函数
的图象如右图所示（其中 
是函数
的导函数），下面四个图象中
的图象大致是 ( )
[解析]：由函数的图象可知： 当
时， 
<0，
>0，此时增；当
时，
>0，<0，此时减；当
时，<0，<0，此时减；当
时，>0，>0，此时增，故选C.
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13． 已知P=
，Q=
，且x∈P是x∈Q的必要条件，则实数a的取值范围是_________________
解析]:由 x2－3x＋３＜0 得 1＜x＜3，由
得a－4＜x＜a＋4, ∵x∈P是x∈Q的必要条件，∴Q
P 则 
∴－1≤a≤5
14.函数
在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是
.
[解析]：由
=0，得
，
当时，
>0，当
时，<0，当时，>0，故的极小值、极大值分别为
，而
故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。
15. 已知z=log2m+4i+2i，若z=
，则实数m= 1 ．
16．曲线y=x(x+1)(2－x)有两条平行于直线y=x的切线，则两切线之间的距离是 .
解：
（分析 从y′=1入手，写出两切线的方程.）
y=-x
+x
+2x,∴y′=-3x+2x+2.所求直线与直线y=x平行.∴k=1.令y′=1,即3x－2x－1=0,(3x+1)(x－1)=0,x=－
或1,x=－时,
y=(－
)+
－
=－
,x=1时, y=-1+1+2×1=2.
故切点为A
,B(1,2)切线方程为:l
:y+=x+,即x－y－
=0,l
:y－1=x－2,
即x-y+1=0,两切线间的距离为:d=
=
.
三、解答题：（本大题6个小题，共74分）
17．（本小题满分10分）若不等式x2－2ax＋a>0，对 x∈R恒成立, 求关于t的不等式
<1的解集。
解：若不等式x2－2ax＋a>0,对 x∈R恒成立，则
…… 4分
又 <1，则
…… 5分
即
∴1< t <2 …… 9分
不等式的解集为｛t┃1< t
<2｝…… 10分
18．（本小题满分12分）设函数
，求x的取值范围.
解：由于
是增函数，
等价于
①…… 2分
1)当
时，
，
①式恒成立。…… 4分
2)当
时，
，①式化为
，即
…… 8分
3)当
时，
，①式无解…… 10分
综上
的取值范围是
…… 12分
19（本小题满分12分）.已知函数f (x)对任意的实数x、y都有f (x+y)=f (x)+f (y)+2y(x+y)+1,且f (1)=1.
(1)若x∈N*,试求f (x)的表达式；
(2)若x∈N*且x≥2时，不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立，求实数a的取值范围.
解: (1)令y=1,则f (x+1)=f (x)+f (1)+2(x+1)+1 …… 2分
∴f (x+1)－f (x)=2x+4 …… 4分
∴当x∈N*时，有f (2)－f (1)=2×1+4
f (3)－f (2)=2×2+4,f (4)-f (3)=2×3+4.
…
f (x)－f (x-1)=2(x-1)+4. …… 5分
将上面各式相加得f (x)=x2+3x－3 (x∈N*). …… 6分
(2)当x∈N*且x≥2时，f (x)=x2+3x－3.
要使不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立.
即当x∈N*且x≥2时,不等式x2+3x－3≥(a+7)x－(a+10)恒成立, …… 7分
即x2-4x+7≥a(x－1)恒成立
∵x≥2,∴
≥a恒成立.
…… 8分
又=(x－1)+
－2≥2. …… 10分
(当且仅当x－1=即x=3时取“等号”)
∴的最小值是2，故a≤2. …… 12分
20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(x+1)－x.
(1)求函数f (x)的单调递减区间;
(2)若x>－1,证明：1－
≤ln(x+1)≤x.
解： (1)函数f(x)的定义域为(－1,+∞),f ′(x)=－1=－
.…… 2分
由f ′(x)<0及x>－1得x>0.∴当x∈(0,+∞)时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为(0,+∞). …… 4分
(2)由(1)知，当x∈(－1,0)时，f ′(x)>0;当x∈(0,+∞)时，f ′(x)<0. …… 6分
因此，当x>－1时，f(x)≤f(0)，即ln(x+1)－x≤0.
∴ln(x+1)≤x.令g(x)=ln(x+1)+－1,
…… 7分
则g′(x)=－
.
…… 8分
当x∈(－1,0)时，g′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0.
∴当x>－1时，g(x)≥g(0),即ln(x+1)+－1≥0,
∴ln(x+1)≥1－.
…… 11分
综上可知，当x>－1时，有1－≤ln(x+1)≤x. …… 12分
21．（本小题满分14分）已知函数f(x)满足f(x－3)＝log5 （3≤x≤5）。
(1)求函数f(x)解析式及定义域； (2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)若f(x)≥log5(2x)，求x的取值范围。
解：(1)设t＝x－3,则x=t+3.
∵f(x－3)=log5,∴f(t)=log5， …… 2分
∵3≤x≤5，,0≤t≤2。由
得0≤t≤2 ……4分
于是f(x)＝log5，且定义域为[0,2]。…… 6分
(2) 设y=f(x)=log5,则＝5y，即x=，…… 7分
∴f-－1(x)= . …… 8分
∵0≤x≤2， ∴1≤3-x≤3，∴＝－1＋∈[1，5]
从而log5∈[0,1]。…… 7分
故函数f(x)的反函数为f-－1(x)= （0≤x≤1）…… 10分
（3）f(x)≥log5(2x)
0＜x≤1或≤x≤2。 …… 14分
22．（本小题满分14分）已知
R,函数
(x∈R).
（1）当
时，求函数
的单调递增区间;
（2）函数是否在R上单调递减，若是，求出
的取值范围；若不是，请说明理由;
（3）若函数在
上单调递增，求的取值范围.
解： (1) 当时,
, 
. …… 2分
令
,即
,即
，解得
.
函数的单调递增区间是
.
…… 4分
(2) 若函数在R上单调递减,则
对
R都成立, …… 5分
即
对R都成立, 即
对R都成立. …… 6分
, 解得
.
…… 7分
当时, 函数在R上单调递减.
…… 8分
(3) 解法一：
函数在上单调递增,
对
都成立,… 9分
对都成立. 
对都成立,… 10分 即
对都成立.
…… 11分
令
, 则
.
当
时，
；当
时，
.
在
上单调递减,在
上单调递增. 
，
在上的最大值是
. 
. …… 14分
解法二： 函数在上单调递增, 对都成立,
对都成立.即
对都成立.…… 10分
令
，则
解得
…… 13分
.
…… 14分