高三数学综合测试题（5）

高三数学综合测试题（5）

（理科）

总分150分

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只　　　　　 有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡上．

1.P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的

　　A　 外心　　　　　　B　内心　　　　　　　 C　重心　　　　　　　 D　垂心

2.直线l经过A（2，1）、B（1，m²）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（　）

A．　　　 B．　　　 　C．　　　　　　　D．

3.已知则的值等于(　　)

　　 A．0　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　 D．9

4．已知=（　 ）

　　　 A．　　　　　　　B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

5.在R上定义运算：．若不等式对任意实数成立，则的取值范围 (　　)

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　　C．　　　　D．  

6．要得到函数的图象，只需将函数的图象作下列变换，其中正确的变换是　　　 （　　）

　　　 A．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的再按向量（）平移

　　　 B．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的再按向量（）平移

　　　 C．先按向量（）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的

D．先按向量（）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的

7.设是定义在实数集上以2为周期的奇函数，已知时，，则在上(　　)

　　　 A．是减函数，且；　　　　　　　　　B．是增函数，且；

　　　 C．是减函数，且　　　　　　　　　　 D．是增函数，且；

8. 由动点Ｐ向圆x² + y²=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B，∠APB=60°,则动点Ｐ的轨迹方程为　(　　　 )

A　x²+y²=4　　　B  x²+y²=3 　　　C　x²+y²=2　　　　 D　x²+y²=1

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答卷相应的横线上．

9．半径为5的圆过点A(－2, 6)，且以M(5, 4)为中点的弦长为2，则此圆的方程是　　 。　　 　　

10.已知函数的值域为R，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　．

11．已知向量，且A、B、C三点共线，则k=_　　__  

12.已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y²＝－4x运动，则使取得最小值的点P的坐标是　　　　　　　　　　 ．

13.过点(1，2)的直线l将圆分成两段弧，其中的劣弧最短时，l的方程为　　 ．　

14.  海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是　　　 海里.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

三、解答题：本大题共6小题，共80分．写出简要答案与过程。

15.（本题12分）已知△ABC中,∠C＝120°，c=7,a+b=8,求的值。

16（本题13分）已知是二次函数，方程有两相等实根，且

　　　 （1）求的解析式．

　　　 （2）求函数与函数所围成的图形的面积．

17.( 本题13分)已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α()。

(1)若，求角α的值；

 (2)若=－1，求的值.

18. 已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。动点P满足：。

(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；(2)当的最大值和最小值。

19.（本题14分）设函数（）的图象关于原点对称，且时，取极小值　

①求的值；

②当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论。

③若，求证：。

20.（本题14分）已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，且过点的切线的斜率为．

　　　 （Ⅰ）求数列的通项公式；

　　　 （Ⅱ）若，求数列的前项和为；

　　　 （Ⅲ）设，，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式．

高三级数学（5）（理科）

一．D D C B D　  A B A

二．9：(x－1)²＋(y－2)²＝25或(x－)²＋(y－)²＝25　　　 10：

　11：　 　 12：(0，0) 　　 13：　　  14 ：5

三、解答题

15．解：由正弦定理：，…………………………3分

代入 …7分

 ………………………10分

∴………………………………………12分

16．解：（1）设．

　　　  -----------------------　4分

　　　 得：

　　　 -----------------------　6分

（2）由题-------------------　8分

　　　 -------------------　10分

　　　

　　　 ＝9  ------------------------------------------------------- 13分

17．解：解：(1)∵=(cos－3, sin), =(cos, sin－3). ……2分

∴∣∣=。

∣∣=。………………………4分

由∣∣=∣∣得sin=cos.又∵，∴=……6分

(2)由· =－1,得(cos－3)cos+sin (sin－3)=－1　

∴ sin+cos=.①　　　………………………………………………8分

又.

 由①式两边平方得1+2sincos= ,　∴2sincos=, ………12分　

∴　　  ………………………………………………13分

18解：(1)设动点的坐标为P(x,y),则＝(x,y－1)，＝(x,y+1)，＝(1－x,－y)

∵·＝k²，∴x²+y²－1＝k[(x－1)²+y²]　

即(1－k)x²+(1－k)y²+2kx－k－1=0。

若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线。

若k≠1，则方程化为：，

表示以(－,0)为圆心，以为半径的圆。

(2)当k=2时，方程化为(x－2)²+y²=1。∵2＋＝2(x,y－1)＋(x,y+1)＝(3x,3y－1)，

∴2＋＝。又x²+y²＝4x－3，

∴2＋＝　∵(x－2)²+y²＝1，∴令x＝2＋cosθ，y＝sinθ。

则36x－6y－26＝36cosθ－6sinθ+46＝6cos(θ+φ)+46∈[46－6,46＋6]，

∴2＋_max＝＝3＋，2＋_min＝＝-3。

19．解：①函数的图象关于原点对称

对任意实数，有

　…………………………………3分

即恒成立　　　　

时，取极小值，且，

…………………………………………………………………………5分

②当时，图象上不存在这样的两点使结论成立。

假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，则由知两点处的切线斜率分别为……………………………………………　　…6分

且　　 （*）

[-1，1]与（*）矛盾………………………………9分

③　令得，

或时，　，　　   时

在[-1，1]上是减函数，且…………………………11分

　　 在[-1，1]上

时，………………14分

20（本题14分）已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，且过点的切线的斜率为．

　　　 （Ⅰ）求数列的通项公式；

　　　 （Ⅱ）若，求数列的前项和为；

　　　 （Ⅲ）设，，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式．

20． 解：（Ⅰ）因为点都在函数的图象上

　　 所以　　 　 

　　  当时， ------------------　　2分

　　 当时，　（*）-------　3分

令，，也满足（*）式　　　　　　 

　　　　所以，数列的通项公式是． --------------　4分

（Ⅱ）由求导可得

　　　　

∵　过点的切线的斜率为

∴　　　------------- ------　　　6分

又∵

 ∴ --------------　7分

∴ 　 ①　由①可得

　　　②

①-②可得

　　

　　　

∴ 　 -------------- 　　9分

（Ⅲ）∵，

∴ --------------------------- 10分

又∵，其中是中的最小数，

∴，　 ---------------------------　 11分

∴ 　 　　　(的公差是4 的倍数!)

又∵

∴　　解得

∴　　  ---------------------------　　　12分

设等差数列的公差为

则　　　　　　　 

　　  ∴　

　　 所以，的通项公式为． -------------------------- 14分