高三数学综合模拟试卷 （二）
总分１５０分
一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 
是虚数单位，
等于（ ）
A.
1 B.
C.
D.
2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 若
，则
的充要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 
的内角A、B、C的对边分别为
，若成等差数列，且
，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 要得到函数
的图象，只需将函数
的图象上所有的点的（ ）
A.
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度
B.
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
C.
横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度
D.
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
6. 已知的顶点B，C在椭圆
上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是（ ）
A.
B. 
C. 20 D.
8
7. 已知二面角
的大小为
，
为异面直线，且
，则所成角的大小是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 如果实数
满足约束条件
，那么
的最大值为（ ）
A.
4 B.
1 C.
0 D.
9. 书架上的一格内有排好顺序的5本书，如果保持这5本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（ ）
A. 120种 B. 168种 C. 216种 D. 336种
10. 已知函数
满足
，又
，当
时，
，若
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11. 如果函数
是奇函数，则
。
12. 已知
，
与
的夹角是
，则
的值是 。
13. 曲线
上在横坐标为的点处的切线方程是 。
14. 已知随机变量
的概率分布为
，方差为3，则x的值是
。
15. 设
是空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，给出下列条件：① 都是平面；② x是直线，
是平面；③ 都是直线；④ 是平面，z是直线。以上条件中，能确定“若
且
，则
”为真命题的是 。（把你认为是真命题的序号都填上。）
三. 解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16. （本小题满分12分）
已知
。
（1）求的定义域；
（2）若
，且
，求
的值。
17. （本小题满分12分）
甲袋内装有6个白球，4个黑球，乙袋内装有2个白球，4个黑球，现从甲袋内任意摸出2个球，从乙袋内摸出1个球。用
表示摸得的白球总数，求的分布列和的数学期望。
18. （本小题满分12分）
解关于x的不等式
。（其中
19. （本小题满分12分）
已知函数
，
。
（1）判断的单调性，并证明你的结论；
（2）求的反函数
；
（3）若关于x的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围。
20. （本小题满分13分）
设数列
的前n项和为
，满足
，其中p为常数，且
，
。
（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若数列的公比
，数列
满足
，
，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若
，求实数p的值。
21. （本小题满分14分）
已知点
，点P在
轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
。
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过
作直线与轨迹C交于A，B两点，若在x轴上存在一点
，使
为等边三角形，求
的值。
高三数学综合模拟试卷 （2）参考答案
一. 选择题（每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | C | D | A | B | A | B | C | D | A |
二. 填空题（每小题5分，共25分）
11. 
12.
13.
14. 8 15. ②④
三. 解答题（共75分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分。）
16. 解：（1）
的定义域是
（1分）
又由
，得
故的定义域是
且
（3分）
（2）法一：
（4分）
（5分）
（6分）
∵ 
，
∴ 
（7分）
∴ 
（8分）
∵ 
（9分）
又
（11分）
∴ 
（12分）
法二：由
（4分）
∴ 
由
（5分） 解得
或
（7分）
∵ ，故
∴ 
，
（8分） 于是
（9分）
又
（11分）
∴ 
（12分）
17. 解：
（2分）
（4分）
（5分）
（7分）
（8分）
（10分）
即
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
∴ 
（11分）
（12分）
18. 解：（1）当
时，不等式化为
∴ 解集为
（2分）
（2）当
时，原不等式化为
，即
（4分）
① 当
时，为
解集为
（6分）
② 当
时，有
，故解集为
或
（9分）
③ 当
时，有
，故解集为
或
（12分）
19. 解：（1）∵ 
，
（3分）
当
时，
∴ 在
上是减函数（4分）
（2）令
∵ 
∴ 
（5分）
∴ 
∴ 
（7分）
（3）由
在
上恒成立，即
，也即
要在上恒成立（8分）
在上恒成立（9分）
亦即
在上恒成立（10分）
由于
在上是单调递增函数
∴ 在上有最小值
从而实数的取值范围是
（12分）
20. 解：（1）当
时，由
，得
∵ 
∴ 
（2分）
又由
，
两式相减得
，
故
（4分）
∴ 数列
是以1为首项，
为公比的等比数列（5分）
∴ 
（6分）
（2）
，因
（7分）
所以
即
故数列
是以
为首项，以为公差的等差数列（8分）
∴ 
∴ 
（10分）
（3）由
又
∴ 
∴ 
（12分）
化为
，解得
与
题意知，故舍去，得（13分）
21. 解：（1）设
（1分）
∵ 
，故由
解得
∴ 
（3分）
再由
得
（4分）
∴ 
（6分）
故动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线（除去原点）（7分）
（2）设过的直线
的方程为
（8分）
代入得
（9分）
设
，则
，
∴ AB中点为
线段AB的中垂线方程为
令
，得
（11分）
∴ 
，因为等边三角形，故点E到AB的距离为
，而
故
又E到直线即
的距离为
由
，解得
∴ 
∴ E点坐标为
（14分）