高三元月数学测试题
一、 选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合要求的。
1．（理）对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B={（x,y）︳x∈A，y∈B }，若A={1，3}，B=｛2，4｝，则点集A×B的非空真子集的个数是（ ）
A、4 B、8 C、14 D、16
（文）集合A={（x,y）∣2x+y=5，x∈N，y∈N}，则A的非空真子集的个数为（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
2．在△ABC中，“A＞300”是“sinA＞
”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件
3．已知函数的反函数满足，则的最小值 为（ ）
A、4 B、6 C、9 D、2
4．直线y=a与函数f（x）=x3-3x的图象有相异三个交点，则a的取值范围是（ ）
A、（-2，2） B、[-2，2] C、[-2，3] D、（-1，2）
5、（理）已知
,则1+a+a2+a3+…+a2006=（ ）
A、a B、
C、1
D、0
（文）设全集U是实数集R，M{x︴x2>4},N={x︱
},则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A、{x︱-2≤x<1} B、{x∣-2≤x≤2} C、{x∣1<x≤2}
D、{x︱x＜2}
6、等差数列{an}中，
,则
（ ）
A、20 B、22 C、24 D、-8
7、给出下列命题，则其中的真命题是（ ）
A、若直线m,n都平行于平面
，则m、n一定不是相交直线。
B、已知平面
，直线m⊥n，若
,则
。
C、直线m、n在平面内的射影分别是一个点和一条直线，且m⊥n，则
.
D、直线mn是异面直线，或
,则n必与相交。
8、从2007名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007名剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则第人入选的概率（ ）
A、不全相等 B、均不相等 C、都相等，且为
D、都相等，且为
9、设F1、F2为椭圆的两个焦点，A为椭圆上的点，且
,
,则椭圆的离心率为（ ）
A、
B、
C、
D、
10、（理）设f(x-1)=x+x2+…+xn，且f(x)的展开式中所有项的系数的系数和为An，则
的值为（ ）
A、2 B、
C、
D、-2
（文）若
二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（ ）
A、-7 B、7 C、-28 D、28
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分。
11、f(x)=(4a-3)x+b-2a,x∈[0，1]，若f(x)≤2恒成立，则a+b的最大值为
12、在映射f：A→B中，若B中的每一个元素都有原象，则称这样的映射为从A到B的满射。若A中有4个元素，B中有3个元素，则从A到B的满射有 个。
| 8 | 3 | 4 |
| 1 | 5 | 9 |
| 6 | 7 | 2 |
13、将n2个正整数1，2，3，…，n2填 入n×n方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方。记f(n)为n阶幻方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可知f(3)=15，是f(5)= 。
14、若f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x-2)=-f(x)，给出下列四个结论：①f（2）=0；②f(x)是以4为周期的周期函数；③f(x)的图象关于直线x=0对称 ；④f(x+2)=f(-x)，其中所有正确结论的序号是
15、已知点P（x,y）在椭圆9x2+4y2=36上，则2x+y的最大值为 ；此时点P的坐标为 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
16．（本小题满分 12分）设函数f(x)=
,其中
,
（Ⅰ）求f(X)的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f(A)=2,a=
，b+c=3(b>c)，求b、c的长。
17、（本小题满分12分）（理）在一次购物投资活动中，假设某10张奖券中有一等奖1张，可获价值50元的奖品；二等奖3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从这10张奖券中任抽2张，求
（Ⅰ）该顾客中中奖 的概率；
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值
（元）的概率分布列和期望E。
（文）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为
且各道工序互不影响。
（Ⅰ）求该种零件的合格率；
（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少有一件合格品的概率 。
18、（本小题满分14分）如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=2,AA1=1,BD与平面AA1 B1B所成的角为300，AE⊥BD于E，F为A1B1的中点。
（1）求异面直线AE与BF所成的角；（用反三角函数表示）；
（2）求平面BDF与平面AA1B所成的二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）；
（3）（理）求点A到平面BDF的距离。
19、（本小题满分14分）（理）已知a为实数，函数
.
（1）若a≥0，证明方程f(X)=0有唯一实根；
（2）若a<0，求函数
的单调区间。
（文）已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在区间
及
上为增函数，在[-1，1]上为减函数。
（1）求f(x)的表达式；
（2）若f(x)≤m(x∈[-2，1])上恒成立，求m 的最小值 。
20、（本小题满分14分）已知点集L={（x,y）
},其中
,又知点列
为L与y轴的交点。等差数列{an}的公差为1，
.
（Ⅰ）求
;
（Ⅱ）若
,求出k的值;
（Ⅲ）（理）研究数列{an},{bn}，发现数列{bn}有如下性质：设Sn是其 前n项和，则
是一个与n无关的常数，请你进一步研究，对任意一个等差数列{Cn},Tn是其前n和，是否存在一个与n无关的常数k，使
Tn=kT2n，若存在，求出此常数k，若不存在，请说明理由。
（文）对于数列{bn},设Sn是其前n项和，是否存在一个与n无关的常数M，使=M，若存在，求出此常数M，若不存在，请说明理由。
21、（本小题满分14分）已知两定点M（-2，0），N（2，0），动点P在轴上的射影是H，如果
和
分别是公比为2的等比数列的第三、第四项。
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程的C;
（Ⅱ）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下文两个不同点A、B,R为AB的中点，若过R与定点Q（0，-2）的直线交x轴于点D（x0,-2），求x0的取值范围。
答 案
一、C（C）、 B、 C、 A、 D（C）、 C、 C、 D、 D、 A（B）
二、11．
12。36个 13.65 14。①②④ 15. 5;
三、16.解：（1）
由于A为三角形的内角，
，由余弦定理，有
,又b+c=3且b>c，所以b=2,c=1.
17.解：（理）（Ⅰ）共有10张奖券，能获奖的有4张，故获奖的概率为
（Ⅱ）的所有可能值为：0；10；20 ；50；60（元）且
故的分布列为：
|
| 0 | 10 | 20 | 50 | 60 |
| P | 1/3 | 2/5 | 1/15 | 2/15 | 1/15 |
从而期望E=
（文）（Ⅰ）p=
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知该种零件的合格率为
，由独立重复实验的概率分布有：恰好取到一件合格品的概率为
至少取到一件合格品的概率为
。
18．（1）
（2）
（3）
19．（理）（Ⅰ）由
所以函数f（x）的定义域为R。又a≥0，所以
在R上恒成立，故f(x)=0在R上有唯一实根x=0。
（Ⅱ）若a<0，
① 若a<-1，
在R上恒成立，故f(x)在R上减函数，即（-∞，+∞）上均为f(x)的递减区间。
②
若a=-1，对x≠0，恒有，故f(x)在（-∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，又函数f(x)在x=0处连续，故f(x)的单调区间为R。
③ 若-1<a<0，则由（*）可知，f(X)在（-∞，
）及（-，+∞）上为减函数；在（-，）上为增函数。
（文）（Ⅰ）
,依题意
解得a=1,b=0,
.
(Ⅱ)
在[-2，1]上f(x)与
的变化情况如下表：
| -2 | （-2，-1） | -1 | （-1，1） | 1 | |
|
| + | 0 | - | 0 | |
| F(x) | -2 | 增 | 极大值2 | 减 | -2 |
由上表可知，f(x)在[-2，1]上的了大值为f(-1)=2。
而f(X)≤m∈(x[-2,1]上恒成立
所以m≥2，故m的最小值为2。
20.（Ⅰ）由题设有L={（x,y）y=2x+1}，故L为直线y=2x+1，它与y轴的交战为P1(0,1)又数列{an}是以1为公差的等差数列，所以
,故
.
（Ⅱ）
当k为奇数时，
当k为偶数时，
.
(Ⅲ)(理)对于任意数列{Cn}，设其通项公式为
，则
.假设存在与n无关常数k，使Tn=kT2n，则
整理得(4k-1)dn=(2c1-d)(1-2k)，要使此式与n无关，则d=0或4k-1=0
所以①当d=c1=0时，k为任意实数；
②当d=0时，c1≠0时，
;
③当d=2c1≠0时,k=
.
（文）
,假设存在与n无关的常数M，使
，即
，故存在与n无关的常数M=1/4，使.
21.解：（Ⅰ）设P(x,y)，则H(0,y),
于是：2x2=x2+y2-4(x≠0)，故动点P的轨迹方程为:y2-x2=4(x≠0)。
（Ⅱ）设直线l的方程为x=
y+2，代入上述方程中，整理得
，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有
又R的坐标为
，可得直线RQ的方程为
.
令y=0得
.