高三数学模拟试卷
命题人：刘建华 审核人：段建平
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．设集合
，
，若
，则
的取值范围 （ ）
A. 
B. 
C. 或
D.
或
2．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序为8组,如下表:
| 组数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 频数 | 10 | 13 | x | 14 | 15 | 13 | 12 | 9 |
第3组的频数和频率分别为（ ）
A.14和0.14
B.0.14和14 C.0.25和0.14 D.
y
3．等差数列
的公差
，若这数列的前
项的和是
，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D. 
4．已知函数
，则函数
的值域为 （ ）
A. 
B.
C. 
D. 
5．已知不等式
的解集为
，则有（ ）
A.
B.
C.
D.
6．已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是（ ）
A. 
B.
C. 
D. 
7．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆O外的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时点P的轨迹是（ ）
A.圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
8．已知平面上点P∈
，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是（ ）
A.36π B.32π C.16π D.4π
9．在下列命题：⑴ 若
，则
；⑵ 若，则
；
⑶若
，则
；⑷ 若
，则
中，真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10．已知函数
，当
时，有
．给出以下命题：
⑴
；⑵
；⑶
；⑷
．
则所有正确命题的序号是（ ）
A.⑴⑷ B. ⑴⑶ C. ⑵⑷ D. ⑴⑶⑷
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分.
11．函数
的定义域是
，则函数的值域中共有▲ 个整数.
12．把函数
的图象向左平移
个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则的最小正值为= ▲ .
13．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ▲ .
14．函数的定义域为开区间
，导函数
在内的图象如下图所示，则函数在开区间内有极小值点的个数为 = ▲ .
15．若
,则有①
②
;③
;.现设双曲正弦函数
,双曲余弦函数
,类比上述三个结论,可得到与
的关系式正确的为 ▲
(只要写 出对应的序号).
16．点P
在椭圆
的右准线上，过点P且方向向量为
的光线经直线
反射后通过椭圆的右焦点，则这个椭圆的离心率为
▲
三、解答题：本大题共5小题；共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
加工某种零件需经过四道工序．已知第一、二、三、四道工序的合格率分别为
、
、
、
，且各道工序是否合格互不影响．当四道工序均合格时该零件就算合格．
⑴求该种零件的合格率；
⑵从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率；
⑶假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率．（用最简分数表示结果）
18．(本小题满分14分)
已知△ABC中，A、B、C所对三条边分别为a、b、c，
⑴
若
，求
的值；
⑵ 若
，其中R为△ABC的外接圆半径，求∠C．
19．(本小题满分14分)
如图，已知
是正方形，
平面，
，设点
是棱
上的动点（不含端点），过点
的平面交棱
于点
（1）求证：
（2）求二面角
的大小（结果用反三角函数值表示）
（3）试确定点的位置，使
平面
，试说明理由
20．(本小题满分15分)
设曲线Ｃ：
的离心率为
，右准线
与两渐近线交于Ｐ，Ｑ两点，
其右焦点为Ｆ，且△PQF为等边三角形。
⑴ 求双曲线C的离心率；
⑵ 若双曲线C被直线
截得弦长为
，求双曲线方程；
⑶
设双曲线C经过
，以F为左焦点，为左准线的椭圆的短轴端点为B，求BF 中点的轨迹N方程。
21．(本小题满分15分)
已知在
上有定义，
，且满足当
时，
有
，数列
中有
，
.
⑴ 证明：在上为奇函数；
⑵ 求
的表达式；
⑶ 是否存在自然数，使得对于任意
，有
成立？若存在，求出的最小值.
江苏省如皋中学高三数学模拟试卷解答2007年5月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．设集合，，若，则的取值范围 （ D ）
A. B.
C.
或 D.
或
2．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序为8组,如下表:
| 组数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 频数 | 10 | 13 | x | 14 | 15 | 13 | 12 | 9 |
第3组的频数和频率分别为（ A ）
A.14和0.14 B.0.14和14 C.0.25和0.14 D.y
3．等差数列的公差，若这数列的前项的和是，则等于（ D ）
A.
B.
C.
D.
4．已知函数，则函数的值域为 （ C ）
A. B.
C. D.
5．已知不等式的解集为，则有（ B ）
A.
B. C. D.
6．已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是（ A ）
A. B.
C. D.
7．一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆O外的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时点P的轨迹是（ C ）
A.圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
8．已知平面上点P∈，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是（
B ）
A.36π B.32π C.16π D.4π
9．在下列命题：⑴ 若，则；⑵ 若，则；
⑶若，则；⑷ 若，则 中，真命题的个数是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10．已知函数，当时，有．给出以下命题：
⑴；⑵；⑶；⑷．
则所有正确命题的序号是（ A ）
A.⑴⑷ B. ⑴⑶ C. ⑵⑷ D. ⑴⑶⑷
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分.
11．函数的定义域是，则函数的值域中共有
个整数.
12．把函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则的最小正值为=
.
13．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是
.
14．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图所示，则函数在开区间内有极小值点的个数为 = 1 .
15．若,则有①②
;③;.现设双曲正弦函数,双曲余弦函数,类比上述三个结论,可得到与的关系式正确的为 ⑵
(只要写出对应的序号).
16．点P在椭圆的右准线上，过点P且方向向量为的光线经直线反射后通过椭圆的右焦点，则这个椭圆的离心率为
.
三、解答题：本大题共5小题；共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
加工某种零件需经过四道工序．已知第一、二、三、四道工序的合格率分别为、、
、，且各道工序是否合格互不影响．当四道工序均合格时该零件就算合格．
⑴求该种零件的合格率；
⑵从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率；
⑶假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率．（用最简分数表示结果）
解：⑴设
“零件合格”，由于各道工序互不影响，则
；
（3分）
⑵设
“任取3件，恰取到2件合格品”，
“任取3件都是合格品”，
由
为互斥事件
；
（7分）
⑶设
“前两次连续抽到合格品”，
“2、3两次连续抽到合格品”，
“3、4两次连续抽到合格品”，由D、E、F两两为互斥事件得:
．
（11分）
答：⑴ 该种零件的合格率
；
⑵ 从加工好的零件中任取3件，至少取到2件合格品的概率为
；
⑶ 恰好连续2次抽到合格品的概率为
．
（12分）
18．(本小题满分14分)
已知△ABC中，A、B、C所对三条边分别为a、b、c，
⑴
若，求的值；
⑵ 若，其中R为△ABC的外接圆半径，求∠C．
解：⑴ 
（2分）
（4分）
（5分）
（7分）
⑵
由正弦定理，得
（8分）
∴
（9分）
∴
（11分）
∴
（12分）
又
∴C = 
（14分）
19．(本小题满分14分)
如图，已知是正方形，平面，，设点是棱上的动点（不含端点），过点的平面交棱于点
（1）求证：
（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）
（3）试确定点的位置，使平面，试说明理由
解：⑴
，
（2分）
又 
，
（3分）
（4分）
⑵ 连结
，交
于点
，
，又
，面
面
，
，
（6分）
是二面角的平面角，
不妨设
则
，
，
，
，
中，
（9分）
二面角的大小为
（10分）
⑶ 假设棱上存在点，由题意得
，
要使
，只要
即可
（11分）
当时，
中，
，
（12分）
，
时，
（14分）
20．(本小题满分15分)
设曲线Ｃ：的离心率为，右准线与两渐近线交于Ｐ，Ｑ两点，
其右焦点为Ｆ，且△PQF为等边三角形。
⑴ 求双曲线C的离心率；
⑵ 若双曲线C被直线截得弦长为，求双曲线方程；
⑶
设双曲线C经过，以F为左焦点，为左准线的椭圆的短轴端点为B，求BF 中点的轨迹N方程。
解：⑴如图：易得P
（1分）
设右准线与
轴的交点为M，
∵△PQF为等边三角形
∴MF=
PM
（2分）
∴
化简得：
（3分）
∴
∴
（4分）
⑵
由⑴知：
∴双曲线方程可化为：
，即
（5分）
联列方程：
消去
得：
由题意：
（*） （7分）
设两交点A
，B
则
∴AB=
=
化简得：
，即
解得：
或
，均满足（*）式
（9分）
∴
或
∴所求双曲线方程为：
或
（10分）
⑶由⑴知双曲线C可设为：
∵其过点A
∴
∴双曲线C为：
（12分）
∴其右焦点F
，右准线：
设BF的中点N
，则B
（13分）
由椭圆定义得：
（其中
为点B到的距离）
∴
化简得：
∵点B是椭圆的短轴端点，故
∴BF的中点的轨迹方程是：
（或
） （15分）
21．(本小题满分15分)
已知在上有定义，，且满足当时，有，数列中有，.
⑴ 证明：在上为奇函数；
⑵ 求的表达式；
⑶ 是否存在自然数，使得对于任意，有
成立？若存在，求出的最小值.
⑴ 证明：当
时，
；
（1分）
令
，得
,即
（3分）
∴对任意的
，有
.
故在为奇函数.
（4分）
⑵ 解：∵满足
∴
（6分）
∴.
（7分）
又在为奇函数
∴
由，，有
从而
（9分）
⑶ 解：
（10分）
假设存在自然数，使得对于任意的，
有成立，
即
恒成立
（11分）
∴
，解得
（13分）
∴. 存在自然数，使得对于任意，有
成立.
此时，的最小值为16.
（15分）