高三数学期末考试模拟试题
试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
,共150分
测试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题
每小题5分；共60分
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、1、设集合
则下列关系中正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、已知正方体外接球的体积是
，那么正方体的棱长等于（ ）
A、
B、
C、
D、
3、已知
、
是不重合的直线，
、
是不重合的平面，则下列命题是真命题的是：（ ）
①若
②
③
④
A、①③ B、②③ C、③④ D、④
4、当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、函数
满足
，则
与
的大小关系是（ ）
A、
B、
C、
D、大小关系随x的不同而不同
6、在等差数列
中，
则前n项和
的最小值为（ ）
A、
B、
C、
D、
7、把函数
的图象向右平移
个单位，所得图象对应的函数是（ ）
A、非奇非偶函数 B、既是奇函数又是偶函数
C、奇函数 D、偶函数
8、给出下列4个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；
②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；
③若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形；
④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC是等边三角形.
其中正确的命题是（ ）
A、①③ B、③④ C、①④ D、②③
9、过点
的直线l将圆
分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是（ ）
A、
B、
C、
D、
10、定义在（
，0）
（0，
）上的奇函数
，在（0，）上为增函数，当x>0时，图像如图所示，则不等式
的解集为（ ）
A、
C、
B、
D、
11、设椭圆的两个焦点为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A、
B、
C、
D、
12、某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，（2008年不再存）则可取回的钱的总数（元）为(不计利息税)（ ）
A、
B、
C、
D、
二、填空题：本大题共4个小题
每小题4分；共16分，把答案填在题中横线上
13、平面内满足不等式组1≤x+y≤3，—1≤x—y≤1，x≥0，y≥0的所有点中，使目标函数z=5x+4y取得最大值的点的坐标是_______________。
14、若A（6，m）是抛物线
上的点，F是抛物线的焦点，且AF=10，则此抛物线的焦点到准线的距离为
。
15、图中阴影部分的面积为__________。
16、在正方体ABCD—A1B1C1D1中直线BA1与B1C所成角的大小为_____________。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知
、
、
三点的坐标分别为
、
、
，
，
（1）若
，求角的值；
（2）若
，求
的值。
18、 (12分) 已知圆C：
，圆C关于直线
对称，圆心在第二象限，半径为
①求圆C的方程；
②已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l方程。
19、 (本小题满分12分)
如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝
，
M为BC的中点
(Ⅰ)证明：AM⊥PM；
(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；
(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离
20、数列
的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列
的各项为正，其前项和为
，且
，
又
成等比数列，求
21、（本题满分12分）
已知函数
（1）求证：函数
在（0，）上是增函数；
（2）若
在［1，］上恒成立，求实数a的取值范围；
22、(本小题14分)
已知中心在原点的双曲线的右焦点为抛物线
的焦点，右顶点为椭圆
的右顶点。
求该双曲线的方程；
若直线
与双曲线有两个不同的交点
，且
求
的取值范围？
数学试题参考答案
一、选择题
1——5：CDDAA 6——10：CDBDA 11——12：BD
二、 填空题
13、(2,1) 14、8 15、
16、
三、解答题：
17、（本小题满分12分）
解：（1）
，
（3分）
由得
又
（6分）
（2）由，得
（10分）
又=
(12分)
18、解：（1）
（4分）
（2）
切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设
（6分）
圆
圆心
到切线的距离等于半径，
即
（8分）
。
所求切线方程
（12分）
19、 (本小题满分12分)
解法1：(Ⅰ) 取CD的中点E，连结PE、EM、EA
∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD （2分）
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得
EM=，AM=
，AE=3
∴
（3分）
又
在平面ABCD上射影：
∴∠AME=90°
∴AM⊥PM （4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角 （6分）
∴tan ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D为45°； （8分）
(Ⅲ)设D点到平面PAM的距离为
，连结DM，则
（10分）
∴
而
在
中，由勾股定理可求得PM=
,
所以：
∴
即点D到平面PAM的距离为
（12分）
解法2：(Ⅰ) ∵四边形ABCD是矩形
∴BC⊥CD
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴BC⊥平面PCD （2分）
而PC
平面PCD
∴BC⊥PC, 同理AD⊥PD
在Rt△PCM中，PM=
同理可求PA=
，AM=
∴
（3分）
∴∠PMA=90°
即PM⊥AM （4分）
|
∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∴PE⊥平面ABCD
由(Ⅰ) 可知PM⊥AM
∴EM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角 （6分）
∴sin ∠PME=
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D为45°； （8分）
(Ⅲ)同解法(Ⅰ)
解法3：(Ⅰ) 以D点为原点，分别以直线DA、DC为
x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
,
依题意，可得
……2分
∴
（4分）
∴
即
,∴AM⊥PM
（4分）
(Ⅱ)设
，且
平面PAM，则
即
∴
取
，得
（6分）
取
，显然
平面ABCD
∴
结合图形可知，二面角P－AM－D为45°； （8分）
(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则
=
即点D到平面PAM的距离为
（12分）
20. 解：（Ⅰ）由
可得
，
两式相减得
又
∴
故是首项为
，公比为
得等比数列
（4分）
∴
（5分）
（Ⅱ）设的公差为
由得，可得
，可得
（6分）
故可设
又
由题意可得
解得
（8分）
∵等差数列的各项为正，∴
∴
∴
（12分）
21.解：（1）
在（0，）上为增函数 （4分）
（2）
在[1，）上恒成立
设
则
在[1，）上恒成立
在［1，］上单调递增
（10分）
故
即
的取值范围为（，3） （12分）
22解：
（1）由题意知：双曲线的焦点为（2，0），右顶点为（
，
） （
分）
设所求双曲线方程为
，
则
（
分）
所求双曲线方程为
（
分）
（2）设
，由
消去
得到：
（
分）
（
分）
（
分）
又
③
（
分）
由①②③解得
（
分）